Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Натуральные, целые и рациональные числа 21
Определение 6 . П усть A и B — множества. Скажем, что |A| 6 |B| (то
есть множество A не мощнее множества B), если A равномощно какому-
нибудь подмножеству множества B. Скаже м , что |A| < |B|, если |A| 6 |B|
и A не равномощно B.
Теорема 1. Пусть A — произвольное множество. Тогда |A| < |2
A
|.
Определение 7. Множество называется бесконечным, если оно равно-
мощно св о ему собстве нному подмножеству. В противном случае оно называ-
ется конечным.
Арифметика изучает кардинальные числа множеств, не являющихся бес-
конечными.
§3. Натуральные, целые и рациональные числа
Господь дал людям единицу, а
остальное они придумали сами.
Широко известный факт, обнару-
женный Лео польдом Кронекером.
На самом деле, как это ни парадоксально, построение всей математики
можно начать с пустого множес тв а . Положим #(∅) = 0 — это определение
нуля! Единица — э то кардиналь ное число множества 2
∅
: #(2
∅
) = 1, и мно-
жес т в о 2
∅
содержит ровно один элемент. Располагая этим множеством, мы
можем построить множества с произвольным конечным числом элементов .
Так, множество мощности 2 получается объединением двух одноэлементных
множеств, и, если построено множество мощности n, то множество мощ но-
сти n + 1 получается из предыдущего добавлением одноэлементного множе-
ства. Получаемые таким образом кардинальные числа называются натураль-
ными. Множество натуральных чисел линейно упоря дочено,
1 < 2 < . . . < n < n + 1 < . . . ,
обозначае т ся через N и называется натуральным рядом.
Замечание. Натуральный ряд обладает более сильным свойством, чем
линейный порядок: у каждого натурального числа ес т ь последующее и у каж-
дого, кроме единицы, — предыдущее.
Аксиома индукции. Заметим, что само определение натуральных чисел
индуктивно: следующее натуральное число определяется добавлением еди-
ницы к предыдущему. Это отражает важнейшее свойство натурального ряда,
§3. Натуральные, целые и рациональные числа                           21

   Определение 6. Пусть A и B — множества. Скажем, что |A| 6 |B| (то
есть множество A не мощнее множества B), если A равномощно какому-
нибудь подмножеству множества B. Скажем, что |A| < |B|, если |A| 6 |B|
и A не равномощно B.
  Теорема 1. Пусть A — произвольное множество. Тогда |A| < |2A |.
   Определение 7. Множество называется бесконечным, если оно равно-
мощно своему собственному подмножеству. В противном случае оно называ-
ется конечным.
   Арифметика изучает кардинальные числа множеств, не являющихся бес-
конечными.


§3. Натуральные, целые и рациональные числа
                                      Господь дал людям единицу,      а
                                      остальное они придумали сами.

                                      Широко известный факт, обнару-
                                      женный Леопольдом Кронекером.
   На самом деле, как это ни парадоксально, построение всей математики
можно начать с пустого множества. Положим #(∅) = 0 — это определение
нуля! Единица — это кардинальное число множества 2∅: #(2∅) = 1, и мно-
жество 2∅ содержит ровно один элемент. Располагая этим множеством, мы
можем построить множества с произвольным конечным числом элементов.
Так, множество мощности 2 получается объединением двух одноэлементных
множеств, и, если построено множество мощности n, то множество мощно-
сти n + 1 получается из предыдущего добавлением одноэлементного множе-
ства. Получаемые таким образом кардинальные числа называются натураль-
ными. Множество натуральных чисел линейно упорядочено,
                     1 < 2 < ... < n < n + 1 < ...,
обозначается через N и называется натуральным рядом.
   Замечание. Натуральный ряд обладает более сильным свойством, чем
линейный порядок: у каждого натурального числа есть последующее и у каж-
дого, кроме единицы, — предыдущее.

Аксиома индукции. Заметим, что само определение натуральных чисел
индуктивно: следующее натуральное число определяется добавлением еди-
ницы к предыдущему. Это отражает важнейшее свойство натурального ряда,

Страницы