Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 23 стр.

22                                 §3. Натуральные, целые и рациональные числа

которое называется аксиомой (или принципом) математической индукции:
если какое-то утверждение верно для 1 и из предположения, что оно верно
для n, следует, что оно верно для n + 1, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел6.
   Принцип математической индукции является одним из основных при опре-
делении понятий и доказательстве различных утверждений, относящихся к
натуральным числам. Например, сложение и умножение натуральных чисел
определяется по индукции следующим образом:
            Сложение:                                 Умножение:
            1 + 1 = 2,                                1 · 1 = 1,
            n + (m + 1) = (n + m) + 1,                n · (m + 1) = n · m + n,
а потом по индукции же доказывается, что эти операции обладают извест-
ными свойствами:
      n + m = m + n,                      коммутативность сложения,
      (n + m) + k = n + (m + k),          ассоциативность сложения,
      1 · n = n,                          умножение на единицу тождественно,
      n · m = m · m,                      коммутативность умножения,
      n · (m · k) = (n · m) · k,          ассоциативность умножения,
      n · (m + k) = n · m + n · k,        дистрибутивность умножения
                                          относительно сложения.
Докажем, например, что 1 · n = n. Для n = 1 это выполняется по определе-
нию. Предположим, что при n это верно. Тогда из определения умножения и
сделанного предположения следует, что
                           1 · (n + 1) = 1 · n + 1 · 1 = n + 1.
Значит, по принципу индукции это верно для всех n.
   Множество натуральных чисел бесконечно. Его мощность обозначается че-
рез ℵ0 , и всякое множество, имеющее такую мощность, то есть равномощное
натуральному ряду, называется счётным 7.

     6Мы предполагаем, что натуральный ряд начинается с единицы. Можно считать, что он начи-
нается с нуля, — это вопрос договорённости. Аксиому индукции можно также переформулировать
следующим образом: если какое-то утверждение верно для некоторого натурального числа k и из
предположения, что оно верно для n > k, следует, что оно верно для n + 1, то это утверждение
верно для всех натуральных чисел, бо́льших или равных k.
   7ℵ — первая буква древнееврейского алфавита; читается «а́леф».