Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 25 стр.

24                                 §3. Натуральные, целые и рациональные числа

     Рассмотрим прямое произведение Z × Z и подмножество
                       Q = { (m, n) | m, n ∈ Z, n 6= 0 } ⊂ Z × Z.
     Введём на множестве пар (m, n) ∈ Q отношение P , полагая
                       (m, n)P (m′ , n′) ⇔ mn′ = nm′ .                     (32)
   Предложение 7. P — отношение эквивалентности.
   Обозначим через m n класс эквивалентности пары (m, n) и назовём этот
класс рациональной дробью с числителем m и знаменателем n. На множе-
стве рациональных дробей можно ввести операции сложения и умножения,
полагая
                    m k      ml + kn        m k     mk
                      + =               ,      · =       .                 (33)
                    n    l      nl          n l       nl
Ситуация оказывается, однако, не столь простой, как это кажется на первый
взгляд. Дело в том, что по определению рациональная дробь — это класс
эквивалентности, то есть множество, а определение операций, данное равен-
ствами (33), фактически формулируется в терминах отдельных элементов, то
есть представителей этих классов. Поэтому, вообще говоря, может случиться
так, что выбрав два разных представителя, мы получим разные результаты.
Чтобы этого не случилось, определение (33) должно быть, как говорят в ма-
тематике, корректным. Это означает следующее.
   Предложение 8. Пусть (m, n) и (m′ , n′), а также (k, l) и (k ′, l′) — пары,
эквивалентные в смысле отношения эквивалентности (32). Тогда пары
                           (ml + kn, nl),    (m′ l′ + k ′ n′ , n′l′)
и
                                 (mk, nl),   (m′ k ′ , n′l′ )
также эквивалентны.
   Это и означает, что сложение и умножение рациональных дробей действи-
тельно определено на множестве этих дробей, а не на отдельных парах, из
которых эти дроби строятся.
   Замечание. Класс эквивалентности пары (m, n) состоит из всевозмож-
ных дробей, которые приводятся друг к другу «сокращением числителя и
знаменателя на общий множитель». То есть вводя отношение эквивалентно-
сти (32), мы на самом деле говорим, что, скажем, 12 и 24 — это одно и то же. К
сожалению, никак проще, чем это было сделано выше, этого сделать нельзя
(если мы, конечно, хотим придерживаться математической строгости).
   Полученное множество дробей обозначается через Q и называется полем
рациональных чисел 8. В этом поле можно складывать, вычитать, умножать
     8О понятии поля см. ниже гл. IV.