Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Действительные числа 25
и, в отличие от целых чисел, делить на любую ненулевую дробь. Существует
инъекция множества целых чисел в поле Q: каждому целому числу m можно
сопоставить дробь
m
1
.
Может показаться, что рациональных чисел «гораздо больше», чем целых.
На само м деле это не так.
Предложение 9. Множество Q рациональных чисел счётно.
Заметим также, что множество рациональных чисел линейно упорядоче-
но:
m
n
6
k
l
тогда и только тогда, когда
(ml − nk)nl 6 0. (34)
Этот порядок согласован с порядком, заданным на множестве целых чисел:
если m, n ∈ Z, то m 6 n тогда и только тогда, когда
m
1
6
n
1
.
Замечание. Фактически, к понятию рационального числа пришли ещё
древние греки (и, как ни странно, рациональные числа были «изобретены»
гораздо раньше , чем целые отрицательные). Правда, они использовали не аб-
страктный алгебраический язык, а язык геометрии, рассматривая задачу о
соизмеримости отрезков. Они же обнаружили суще ствование несоизмери-
мых отрезков, то е сть, говоря современным языком, иррациональных чисел.
Чт´о это такое, мы обсудим в §4.
§4. Действительные числа
Действительные числа проходят в
школе.
Ра спространённое заблуждение.
Хотя по-настоящ ему строго действительные числа были определены толь-
ко во второй половине XIX в. Р. Дедекиндом, представление об их существо-
вании сформировалось, как уже отмечалось, ещё у древних греков.
Несоизмеримые отрезки. Два отрезка называются соизмеримым и, если
они имеют общую меру, то есть если существует такой отрезок, который укла-
дывается целое число раз и в первом , и во втором отрезке. Если такого от-
резка нет, отрезки называются несоизмеримыми. Примером несоизмеримых
отрезков являются сторона и диагональ квадрата. Действительно, если при-
нять сторону квадрата за a, а длину диагонали за c, то из теоремы Пифагора
будет следовать, что
c
2
= 2a
2
. (35)
§4. Действительные числа                                               25

и, в отличие от целых чисел, делить на любую ненулевую дробь. Существует
инъекция множества целых чисел в поле Q: каждому целому числу m можно
сопоставить дробь m1 .
   Может показаться, что рациональных чисел «гораздо больше», чем целых.
На самом деле это не так.
  Предложение 9. Множество Q рациональных чисел счётно.
   Заметим также, что множество рациональных чисел линейно упорядоче-
но: m   k
    n 6 l тогда и только тогда, когда

                             (ml − nk)nl 6 0.                         (34)
Этот порядок согласован с порядком, заданным на множестве целых чисел:
если m, n ∈ Z, то m 6 n тогда и только тогда, когда m1 6 n1 .
   Замечание. Фактически, к понятию рационального числа пришли ещё
древние греки (и, как ни странно, рациональные числа были «изобретены»
гораздо раньше, чем целые отрицательные). Правда, они использовали не аб-
страктный алгебраический язык, а язык геометрии, рассматривая задачу о
соизмеримости отрезков. Они же обнаружили существование несоизмери-
мых отрезков, то есть, говоря современным языком, иррациональных чисел.
Что́ это такое, мы обсудим в §4.



§4. Действительные числа
                                      Действительные числа проходят в
                                      школе.
                                      Распространённое заблуждение.
   Хотя по-настоящему строго действительные числа были определены толь-
ко во второй половине XIX в. Р. Дедекиндом, представление об их существо-
вании сформировалось, как уже отмечалось, ещё у древних греков.
Несоизмеримые отрезки. Два отрезка называются соизмеримыми, если
они имеют общую меру, то есть если существует такой отрезок, который укла-
дывается целое число раз и в первом, и во втором отрезке. Если такого от-
резка нет, отрезки называются несоизмеримыми. Примером несоизмеримых
отрезков являются сторона и диагональ квадрата. Действительно, если при-
нять сторону квадрата за a, а длину диагонали за c, то из теоремы Пифагора
будет следовать, что
                                 c2 = 2a2 .                           (35)

Страницы