Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Действительные числа 27
Иными словами, сечение — это такое разбиение множества рациональных
чисел на два подмножества, что любое рациональное число попадает в одно
из э т их подмножеств (но не в о б а вмест е) и всякое число из нижнего класса
строго ме ньш е всякого числа, принадлежащего верхнему классу.
Пример 22. Пусть
A = {p ∈ Q | p
2
> 2 & p > 0 }
и
A
′
= {q ∈ Q | (q 6 0) ∨ (q
2
6 2 & q > 0) }.
Пара (A,A’) — сечение множества рациональных чисел.
Пример 23. Пара
A = {p ∈ Q | p < 0 }, A
′
= {q ∈ Q | q > 0 }.
является сечением.
Пример 24. Пара
A = {p ∈ Q | p 6 0 }, A
′
= {q ∈ Q | q > 0 }
также является с ечением.
Сечение, построенное в примере 22, принципиально отличается от сечений,
построенных в двух других примерах. Именно, сечения из примеров 2 3 и 24
определяются рациональными числами, в т о врем я как в примере 22 это не
так — там построено новое число. Это, как нетрудно видеть, квадратный
корень из 2.
Определение 9. Сечение множества рациональных чисел называется ра-
циональным, если либо его верхний класс содержит минимальный элем ент,
либо его нижний класс содержит максимальный элемент. В противном случае
сечение называется иррациональным.
Сечения из примеров 23 и 24 рациональны, а сечение, описанное в приме-
ре 22, иррационально.
Действительные числа. В определении 9 введены два типа рациональных
сечений. Таким об разом, все рациональные сечения разбиваются на пары, за-
даваемые одним и тем же рациональным числом. Мы всегда для определён-
ности будем предполагать, что эт о число лежит в верхнем классе.
Определение 1 0 . Множество R, составленное из всех иррациональных
сечений, а также таких рациональных сечений, что их верхний класс содер-
жит минимальный элемент, называется множеством действительных (или
вещественных ) чисел.
§4. Действительные числа                                               27

   Иными словами, сечение — это такое разбиение множества рациональных
чисел на два подмножества, что любое рациональное число попадает в одно
из этих подмножеств (но не в оба вместе) и всякое число из нижнего класса
строго меньше всякого числа, принадлежащего верхнему классу.
    Пример 22. Пусть
                        A = { p ∈ Q | p2 > 2 & p > 0 }
и
                A′ = { q ∈ Q | (q 6 0) ∨ (q 2 6 2 & q > 0) }.
Пара (A,A’) — сечение множества рациональных чисел.
    Пример 23. Пара
                A = { p ∈ Q | p < 0 },   A′ = { q ∈ Q | q > 0 }.
является сечением.
    Пример 24. Пара
                A = { p ∈ Q | p 6 0 },   A′ = { q ∈ Q | q > 0 }
также является сечением.
   Сечение, построенное в примере 22, принципиально отличается от сечений,
построенных в двух других примерах. Именно, сечения из примеров 23 и 24
определяются рациональными числами, в то время как в примере 22 это не
так — там построено новое число. Это, как нетрудно видеть, квадратный
корень из 2.
   Определение 9. Сечение множества рациональных чисел называется ра-
циональным, если либо его верхний класс содержит минимальный элемент,
либо его нижний класс содержит максимальный элемент. В противном случае
сечение называется иррациональным.
   Сечения из примеров 23 и 24 рациональны, а сечение, описанное в приме-
ре 22, иррационально.

Действительные числа. В определении 9 введены два типа рациональных
сечений. Таким образом, все рациональные сечения разбиваются на пары, за-
даваемые одним и тем же рациональным числом. Мы всегда для определён-
ности будем предполагать, что это число лежит в верхнем классе.
   Определение 10. Множество R, составленное из всех иррациональных
сечений, а также таких рациональных сечений, что их верхний класс содер-
жит минимальный элемент, называется множеством действительных (или
вещественных ) чисел.

Страницы