Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Действительные числа 29
Число n, возникающее в лемме 3, называется целой частью действитель-
ного числа α и обозначается через [α]. Разность α − [α] называется дробной
частью и обозначается че рез {α}.
Поскольку множество действительных чисел упорядочено, в нём, точно так
же, как это было сделано в определении 8 для рациональных чисел, можно
ввести понятие сечения. Оказывается, ничего нового мы не получим:
Теорема 3 (теорема Дедекинда о непрерывности множества R). Ес-
ли (A, A
′
) — сечение множества действительных чисел, где A — нижний класс ,
а A
′
— верхний класс, то существует такое действительное число α, что либо
A = {β ∈ R | β 6 α }, A
′
= {β ∈ R | β > α },
либо
A = {β ∈ R | β < α }, A
′
= {β ∈ R | β > α }.
Замечание. Теорема 3 гов о рит о том, что множество действительных чи-
сел непрерывно, не имеет, в отличие от м ножества рациональных чисел, ла-
кун. Поэтому множество R иногда называют континуумом
9
, а равномощные
ему, как уже отмечалось, множествами мощности континуума.
Обсудим теперь некоторые понятия, относящиеся к ограниченным подмно-
жествам в R.
Определение 12. Пусть X ⊂ R — подмножество.
1. Оно называется ограниченным сверху, если существует такое действи-
тельное число M ∈ R, что x 6 M для любого x ∈ X.
2. Оно называется ограниченным снизу, если существует такое число m ∈
∈ R, что x > M для любого x ∈ X.
3. Наименьшее из чисел, ограничивающих X сверху, называется точной
верхней гранью и обозначается через sup X (от латинского supremum —
наивысший).
4. Наибольшее из чисел, ограничивающих X снизу, называет ся точной
нижней гранью и обозначается через inf X (от латинского infinum —
наинизший).
Если множество не ограничено сверху, то пишут sup X = +∞, а если оно
не ограничено снизу, то inf X = −∞.
Теорема 4. Всяко е подмножество X ⊂ R, ограниченное снизу (св ерху),
имеет т о чную нижнюю (верхнюю) грань.
9
От латинского continuum — непрерывное.
§4. Действительные числа                                               29

   Число n, возникающее в лемме 3, называется целой частью действитель-
ного числа α и обозначается через [α]. Разность α − [α] называется дробной
частью и обозначается через {α}.
   Поскольку множество действительных чисел упорядочено, в нём, точно так
же, как это было сделано в определении 8 для рациональных чисел, можно
ввести понятие сечения. Оказывается, ничего нового мы не получим:
   Теорема 3 (теорема Дедекинда о непрерывности множества R). Ес-
ли (A, A′) — сечение множества действительных чисел, где A — нижний класс,
а A′ — верхний класс, то существует такое действительное число α, что либо
                A = { β ∈ R | β 6 α },      A′ = { β ∈ R | β > α },
либо
                A = { β ∈ R | β < α },      A′ = { β ∈ R | β > α }.
   Замечание. Теорема 3 говорит о том, что множество действительных чи-
сел непрерывно, не имеет, в отличие от множества рациональных чисел, ла-
кун. Поэтому множество R иногда называют континуумом 9, а равномощные
ему, как уже отмечалось, множествами мощности континуума.
  Обсудим теперь некоторые понятия, относящиеся к ограниченным подмно-
жествам в R.
  Определение 12. Пусть X ⊂ R — подмножество.
   1. Оно называется ограниченным сверху, если существует такое действи-
      тельное число M ∈ R, что x 6 M для любого x ∈ X.
   2. Оно называется ограниченным снизу, если существует такое число m ∈
      ∈ R, что x > M для любого x ∈ X.
   3. Наименьшее из чисел, ограничивающих X сверху, называется точной
      верхней гранью и обозначается через sup X (от латинского supremum —
      наивысший).
   4. Наибольшее из чисел, ограничивающих X снизу, называется точной
      нижней гранью и обозначается через inf X (от латинского infinum —
      наинизший).
   Если множество не ограничено сверху, то пишут sup X = +∞, а если оно
не ограничено снизу, то inf X = −∞.
  Теорема 4. Всякое подмножество X ⊂ R, ограниченное снизу (сверху),
имеет точную нижнюю (верхнюю) грань.
  9От латинского continuum — непрерывное.

Страницы