Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 §4. Действительные числа
Элементы множества R называются действительными (или веществен-
ными) числами. Если действительному числу соответствует рациональное се-
чение, то оно называется рациональным; в противном случае оно называется
иррациональным.
Два действительных числа с читаются равными, если верхние классы (или,
эквивалентно, нижние классы) соответ ствующих им сечений совпадают.
Свойства действительных чисел можно подразделить на два типа — тео-
ретико-множественные и алгебраические. Изучению этих свойств посвя щена
оставшаяся часть наст оящей главы.
Теоретико-множественные свойства. Первым замечательным свой-
ством множества действительных чисел является следующее.
Теорема 2. Множество R равномощно множеству подмножеств множе-
ства N.
Мощность множества действительных чисел обозначается буквой ℵ. Из
теоремы 1 следует, что она больше ℵ
0
. Можно также условно записать,
что ℵ = 2
ℵ
0
. Про множества, равномощные R, говорят, что они имеют мощ-
ность континуума.
Второе важное свойство действительных чисел — их линейная упорядо-
ченность. П усть α и β — дейс т в ительные числа и A и B — нижние классы
соответствующих сечений.
Определение 11. Скажем, что α 6 β, если A ⊂ B.
Предложение 10. Введё нное в определении 11 отношение является отно-
шением линейного порядка на множестве действительных чисел. Более то го,
этот порядок согласован с линейным порядком (34), определённым на мно-
жестве Q рациональных чисел.
Построенное отношение порядка обладает св о йс т в а м и, описываемыми сле-
дующими тремя ле м м а м и.
Лемма 1. Если α и β — дейс т вительные числа и α < β, то вс егда найдётся
бесконечное множество таких рациональных чисел r, что α < r < β.
Лемма 2. Если α и β — такие действительные числа, что для любого
рационального числа ε > 0 найдутся такие рациональные числа r и r
′
, что
r 6 α 6 r
′
, r 6 β 6 r
′
, r − r
′
6 ε,
то α = β.
Лемма 3. Если α — действительное число, то всегда найдётся такое целое
число n, что n 6 α < n + 1.
28                                                §4. Действительные числа

   Элементы множества R называются действительными (или веществен-
ными) числами. Если действительному числу соответствует рациональное се-
чение, то оно называется рациональным; в противном случае оно называется
иррациональным.
   Два действительных числа считаются равными, если верхние классы (или,
эквивалентно, нижние классы) соответствующих им сечений совпадают.
   Свойства действительных чисел можно подразделить на два типа — тео-
ретико-множественные и алгебраические. Изучению этих свойств посвящена
оставшаяся часть настоящей главы.
Теоретико-множественные свойства. Первым замечательным               свой-
ством множества действительных чисел является следующее.
   Теорема 2. Множество R равномощно множеству подмножеств множе-
ства N.
   Мощность множества действительных чисел обозначается буквой ℵ. Из
теоремы 1 следует, что она больше ℵ0 . Можно также условно записать,
что ℵ = 2ℵ0 . Про множества, равномощные R, говорят, что они имеют мощ-
ность континуума.
   Второе важное свойство действительных чисел — их линейная упорядо-
ченность. Пусть α и β — действительные числа и A и B — нижние классы
соответствующих сечений.
     Определение 11. Скажем, что α 6 β, если A ⊂ B.
   Предложение 10. Введённое в определении 11 отношение является отно-
шением линейного порядка на множестве действительных чисел. Более того,
этот порядок согласован с линейным порядком (34), определённым на мно-
жестве Q рациональных чисел.
  Построенное отношение порядка обладает свойствами, описываемыми сле-
дующими тремя леммами.
   Лемма 1. Если α и β — действительные числа и α < β, то всегда найдётся
бесконечное множество таких рациональных чисел r, что α < r < β.
  Лемма 2. Если α и β — такие действительные числа, что для любого
рационального числа ε > 0 найдутся такие рациональные числа r и r′ , что
                    r 6 α 6 r′,   r 6 β 6 r′,   r − r′ 6 ε,
то α = β.
  Лемма 3. Если α — действительное число, то всегда найдётся такое целое
число n, что n 6 α < n + 1.

Страницы