Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 §4. Действительные числа
Замечание. Для подмножеств множества рациональных чисел это, вооб-
ще говоря, неверно. Например, множество
E =
1 +
1
n
n
n ∈ N
ограничено сверху, но не имеет точной верхней грани среди рациональных
чисел.
Прежде чем пе реходить ко второй группе свойств, установим связ ь между
данным выше формальным определением действительного числа и привыч-
ным представлением о нём.
Приближение десятичными дробями. Действительные числа, с кото-
рыми люди сталкиваются в «обыденной жиз ни», являются, как правило, де-
сятичными дробями. Это не случайно.
Предложение 11. П усть α — действительное число. Тогда для любого
рационального числа ε > 0 найдутся такие конечные де сятичные дроби d и d
′
,
что d − d
′
6 ε и d 6 α 6 d
′
.
Число d называется приближением с недостатком, число d
′
— прибли-
жением с избытком, а величина
ε
2
— точностью приближения.
Предложение 11 означает, что произвольные действительные числа можно
мыслить себе как бесконечные десятичные дроби. Рассмотрим такую дробь и
обозначим k-ю десятичную цифру после запя т о й через c
k
(если дробь конечна
и имеет длину, меньшую k, то c
k
= 0). Скажем, что дробь периодическая, если
найдутся такие натуральные числа K и p, что c
k
= c
k+p
, для всех k > K.
Предложение 12. Действительное число является рациональным тогда
и только тогда, когда соответс т в ующая ему десятичная дробь являет ся пери-
одической.
Арифметические операции и их свойства.
Определение 13. Пусть α и β — действительные числа. Их суммой на-
зывается число γ, удовлетворяющее неравенствам
a + b 6 γ 6 a
′
+ b
′
,
где a, a
′
, b, b
′
— произвольные рациональные числа, удовлетворяющие нера-
венствам
a 6 α 6 a
′
, b 6 β 6 b
′
.
Сумма об о значается через α + β.
Предложение 13. Для любых действительных чисел их сумма существу-
ет, единственна и обладает следующими свойствами:
30                                                 §4. Действительные числа

   Замечание. Для подмножеств множества рациональных чисел это, вооб-
ще говоря, неверно. Например, множество
                                    n      
                                    1
                        E=      1+       n∈N
                                    n
ограничено сверху, но не имеет точной верхней грани среди рациональных
чисел.
  Прежде чем переходить ко второй группе свойств, установим связь между
данным выше формальным определением действительного числа и привыч-
ным представлением о нём.
Приближение десятичными дробями. Действительные числа, с кото-
рыми люди сталкиваются в «обыденной жизни», являются, как правило, де-
сятичными дробями. Это не случайно.
   Предложение 11. Пусть α — действительное число. Тогда для любого
рационального числа ε > 0 найдутся такие конечные десятичные дроби d и d′ ,
что d − d′ 6 ε и d 6 α 6 d′.
   Число d называется приближением с недостатком, число d′ — прибли-
жением с избытком, а величина 2ε — точностью приближения.
   Предложение 11 означает, что произвольные действительные числа можно
мыслить себе как бесконечные десятичные дроби. Рассмотрим такую дробь и
обозначим k-ю десятичную цифру после запятой через ck (если дробь конечна
и имеет длину, меньшую k, то ck = 0). Скажем, что дробь периодическая, если
найдутся такие натуральные числа K и p, что ck = ck+p, для всех k > K.
   Предложение 12. Действительное число является рациональным тогда
и только тогда, когда соответствующая ему десятичная дробь является пери-
одической.

Арифметические операции и их свойства.
  Определение 13. Пусть α и β — действительные числа. Их суммой на-
зывается число γ, удовлетворяющее неравенствам
                            a + b 6 γ 6 a′ + b′,
где a, a′ , b, b′ — произвольные рациональные числа, удовлетворяющие нера-
венствам
                            a 6 α 6 a′ , b 6 β 6 b′ .
Сумма обозначается через α + β.
   Предложение 13. Для любых действительных чисел их сумма существу-
ет, единственна и обладает следующими свойствами:

Страницы