Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Действительные числа 31
1. α + β = β + α.
2. α + (β + γ) = (α + β) + γ.
3. α + 0 = 0 + α = α.
4. Для любого числа α существует такое число −α (число, противополож-
ное α), что α + (−α) = (−α) + α = 0.
5. Если α < β, то и α + γ < β + γ для любого γ ∈ R.
Определим модуль (или абсолютную величину) числа α, полагая
|α| =
α, если α > 0,
−α, если α < 0.
Определение 14. Пусть α и β — положительные действ ительные числа.
Их произведением называется число γ, удовлетворяющее неравенствам
ab 6 γ 6 a
′
b
′
,
где a, a
′
, b, b
′
— произвольные рациональные числа, удовлетворяющие нера-
венствам
0 < a 6 α 6 a
′
, 0 < b 6 β 6 b
′
.
Произведение обозначается через α ·β (или αβ). Если β = 0, то мы полагаем
α · 0 = 0 · α = 0.
Для произвольных α и β их произведе ние определяется с ледующим образом:
α · β =
|α| · |β|, если α и β одного з нака,
−(|α| · |β|), если α и β разных знаков.
Предложение 14. Для любых действите льных чисел их произве дение
существует, единственно и обладает следующими св о йствами:
1. α · β = β · α.
2. α · (β ·γ) = (α · β) · γ.
3. α · 1 = 1 · α = α.
4. α · (β + γ) = α · β + α · γ.
5. Для любого числа α 6= 0 существует такое число α
−1
(число, обратное
к α), что α · α
−1
= α
−1
· α = 1.
6. Если α < β и γ > 0, то и α · γ < β · γ.
Степени и логарифмы. Пусть α — де йствительное число и n — целое. По-
ложим
α
n
=
α · . . . · α
| {z }
n раз
, если n > 0,
1, если n = 0 и α 6= 0,
1
α
−n
, если n < 0 и α 6= 0.
При α = 0 и n 6 0 величина α
n
не определена.
§4. Действительные числа                                               31

   1. α + β = β + α.
   2. α + (β + γ) = (α + β) + γ.
   3. α + 0 = 0 + α = α.
   4. Для любого числа α существует такое число −α (число, противополож-
      ное α), что α + (−α) = (−α) + α = 0.
   5. Если α < β, то и α + γ < β + γ для любого γ ∈ R.
  Определим модуль (или абсолютную величину) числа α, полагая
                           
                              α, если α > 0,
                     |α| =
                             −α, если α < 0.
  Определение 14. Пусть α и β — положительные действительные числа.
Их произведением называется число γ, удовлетворяющее неравенствам
                              ab 6 γ 6 a′ b′,
где a, a′ , b, b′ — произвольные рациональные числа, удовлетворяющие нера-
венствам
                        0 < a 6 α 6 a′ , 0 < b 6 β 6 b′ .
Произведение обозначается через α · β (или αβ). Если β = 0, то мы полагаем
                             α · 0 = 0 · α = 0.
Для произвольных α и β их произведение определяется следующим образом:
                  
                      |α| · |β|,   если α и β одного знака,
           α·β =
                     −(|α| · |β|), если α и β разных знаков.
  Предложение 14. Для любых действительных чисел их произведение
существует, единственно и обладает следующими свойствами:
   1. α · β = β · α.
   2. α · (β · γ) = (α · β) · γ.
   3. α · 1 = 1 · α = α.
   4. α · (β + γ) = α · β + α · γ.
   5. Для любого числа α 6= 0 существует такое число α−1 (число, обратное
      к α), что α · α−1 = α−1 · α = 1.
   6. Если α < β и γ > 0, то и α · γ < β · γ.

Степени и логарифмы. Пусть α — действительное число и n — целое. По-
ложим               
                    
                     α · . . . · α, если n > 0,
                     | {z }
                         n раз
               αn =        1,        если n = 0 и α 6= 0,
                    
                    
                           1
                            α−n ,    если n < 0 и α 6= 0.
                             n
При α = 0 и n 6 0 величина α не определена.

Страницы