Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32 §4. Действительные числа
Предложение 15 (существование корней). Пусть α > 0 — действитель-
ное число. Тогда для любого целого числа n сущ ествует и е динственно такое
действительное число β > 0, что
β
n
= α.
Число β называется арифметическим корнем n-й степени из α и обо-
значается либо через
n
√
α, либо через α
−
1
n
. Если α < 0 и n нечётно, то мы
полагаем
n
√
α = −
n
√
−α. Для любого рационального числа r, представленного
в в иде нес о кратимой дроби
m
n
, положим
α
r
= (α
m
)
1
n
во всех случаях, когда это выражение имеет смысл.
Определение 15. Пусть α > 1 и β — действительные числа. Степенью
числа α с показателем β называется такое число γ, что
α
b
6 γ 6 α
b
′
,
где b и b
′
— любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
1 < b 6 β 6 b
′
.
Степень обозначается через α
β
. Если 0 < α < 1, то мы полагаем
α
β
=
1
α
−β
.
По определению 1
β
= 1.
Предложение 16. Для любых действительных чисел α > 0 и β их сте-
пень α
β
существует, единственна и обладает следующими свойствами:
1. α
β
α
γ
= α
β+γ
.
2.
1
α
β
= α
−β
.
3. (α
β
)
γ
= α
βγ
.
4. α
γ
β
γ
= (αβ)
γ
.
Предложение 17. Для любых действительных чисел α > 0, α 6= 1, и β >
> 0 существует такое единственное число γ, что α
γ
= β. Это число называется
логарифмом числа β по основанию α, обозначается через log
α
β и обладает
следующими свойствами:
1. log
α
β · log
β
γ = log
α
γ (в частности, log
α
β =
1
log
β
α
).
2. log
α
(βγ) = log
α
β + log
α
γ.
3. log
α
(β
γ
) = γ log
α
β.
32                                                   §4. Действительные числа

   Предложение 15 (существование корней). Пусть α > 0 — действитель-
ное число. Тогда для любого целого числа n существует и единственно такое
действительное число β > 0, что
                                  β n = α.
   Число β называется √ арифметическим корнем n-й степени из α и обо-
                                         − n1
значается √либо через
                  √
                      n
                        α, либо  через α      . Если α < 0 и n нечётно, то мы
полагаем α = − −α. Для любого рационального числа r, представленного
           n      n


в виде несократимой дроби m n
                              , положим
                                             1
                                αr = (αm ) n
во всех случаях, когда это выражение имеет смысл.
  Определение 15. Пусть α > 1 и β — действительные числа. Степенью
числа α с показателем β называется такое число γ, что
                                                 ′
                                αb 6 γ 6 αb ,
где b и b′ — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
                               1 < b 6 β 6 b′ .
Степень обозначается через αβ . Если 0 < α < 1, то мы полагаем
                                     −β
                                      1
                               αβ =        .
                                      α
По определению 1β = 1.
   Предложение 16. Для любых действительных чисел α > 0 и β их сте-
пень αβ существует, единственна и обладает следующими свойствами:
    1. αβ αγ = αβ+γ .
    2. α1β = α−β .
    3. (αβ )γ = αβγ .
    4. αγ β γ = (αβ)γ .
   Предложение 17. Для любых действительных чисел α > 0, α 6= 1, и β >
> 0 существует такое единственное число γ, что αγ = β. Это число называется
логарифмом числа β по основанию α, обозначается через logα β и обладает
следующими свойствами:
    1. logα β · logβ γ = logα γ (в частности, logα β = log1 α ).
                                                          β
    2. logα (βγ) = logα β + logα γ.
    3. logα (β γ ) = γ logα β.

Страницы