Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 35 стр.

                                   ГЛАВА II
                       Линейная алгебра

§6. Векторные пространства и линейные операторы
   Определение 1. Множество V называется векторным пространством
(над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать
между собой и умножать на действительные числа, причём эти операции об-
ладают следующими свойствами (которые называются аксиомами векторно-
го пространства):
    1) сложение коммутативно: u + v = v + u для любых u, v ∈ V ;
    2) сложение ассоциативно: u + (v + w) = (u + v) + w для любых u, v
       и w ∈V;
    3) в множестве V существует нулевой элемент 0 (или нуль), обладающий
       тем свойством, что 0 + u = u + 0 = u для любого u ∈ V ;
    4) для каждого u ∈ V существует противоположный ему элемент −u
       такой, что u + (−u) = (−u) + u = 0;
    5) умножение ассоциативно: λ(µu) = (λµ)u для любых чисел λ, µ ∈ R и
       элемента u ∈ V ;
    6) умножение дистрибутивно относительно сложения: λ(u +v) = λu +λv
       для любого числа λ ∈ R и элементов u, v ∈ V ;
    7) умножение на единицу тождественно: 1 · u = u для любого элемен-
       та u ∈ V .
Элементы векторного пространства называются векторами.
   Пример 1. Само множество R действительных чисел является векторным
пространством. Множество, состоящее из единственного элемента — нуля, —
также является векторным пространством. Оно обозначается через 0 и назы-
вается тривиальным.
  Пример 2. Рассмотрим множество
                      Rn = { (λ1, . . . , λn ) | λ1 , . . . , λn ∈ R }
и положим
            (λ1, . . . , λn ) + (λ′1 , . . . , λ′n) = (λ1 + λ′1 , . . . , λn + λ′n ),
                    λ(λ1 , . . . , λn ) = (λλ1 , . . . , λλn ),    λ ∈ R.
Тогда множество Rn превращается в векторное пространство, которое назы-
вается n-мерным арифметическим пространством.
                                  34