Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Векторные пространства и линейные операторы 35
Определение 2. Подмножество V
′
⊂ V векторного пространства V на-
зывается подпространством, е сли:
1. u + v ∈ V
′
для любых u, v ∈ V
′
;
2. λu ∈ V
′
для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V
′
,
то есть если V
′
замкнуто относите льно операций сложения и умножения на
числа.
Предложение 1. Всякое подпространство векторного пространства само
является векторным пространством.
Пример 3. Пусть V — векторное пространство и v ∈ V . Тогда множе-
ство {λv | λ ∈ R } является подпространством в V .
Определение 3 . Отображение A: V → W двух векторных пространств
V и W называется линейным оператором (действующим из V в W ), если:
1) A(u + v) = A( u) + A(v) для любых векторов u, v ∈ V ;
2) A(λu) = λA(u) для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V .
Пример 4. Пусть λ ∈ R. Тогда отображение A
λ
: V → V , действующее
по правилу A
λ
(v) = λv, v ∈ V , яв ля ется линейным оператором, который
называется оператором умножения на число λ.
Определение 4. Пусть A: V → W — линейный оператор. Множество
ker A = {v ∈ V | A(v) = 0 } ⊂ V
называется ядром оператора A. Множество
im A = {w ∈ W | ∃v ∈ V : w = A(v) } ⊂ W
называется образом оператора A.
Предложение 2. Ядро и образ любого линейного оператора являются
подпространствами пространств V и W со от в етственно.
Определение 5 . Линейный оператор A: V → W называется изоморфиз-
мом, если ker A = 0, а im A = W . Если A — изоморфиз м , то пространства V
и W называются изоморфными.
Пример 5. Пусть A
λ
оператор умножения на λ (см. пример 4). Тогда
ker A
λ
=
(
0, если λ 6= 0,
V, если λ = 0,
и im A
λ
=
(
V, если λ 6= 0,
0, если λ = 0.
Определение 6. Пусть U, V и W — векторные пространства, а A: U →
→ V , B : V → W — линейные операторы. Отображение B ◦ A : U → W ,
действующее по правилу
(B ◦ A)(u) = B(A(u)), u ∈ U,
§6. Векторные пространства и линейные операторы                      35

   Определение 2. Подмножество V ′ ⊂ V векторного пространства V на-
зывается подпространством, если:
    1. u + v ∈ V ′ для любых u, v ∈ V ′ ;
    2. λu ∈ V ′ для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V ′ ,
то есть если V ′ замкнуто относительно операций сложения и умножения на
числа.
  Предложение 1. Всякое подпространство векторного пространства само
является векторным пространством.
   Пример 3. Пусть V — векторное пространство и v ∈ V . Тогда множе-
ство { λv | λ ∈ R } является подпространством в V .
  Определение 3. Отображение A : V → W двух векторных пространств
V и W называется линейным оператором (действующим из V в W ), если:
   1) A(u + v) = A(u) + A(v) для любых векторов u, v ∈ V ;
   2) A(λu) = λA(u) для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V .
   Пример 4. Пусть λ ∈ R. Тогда отображение Aλ : V → V , действующее
по правилу Aλ (v) = λv, v ∈ V , является линейным оператором, который
называется оператором умножения на число λ.
  Определение 4. Пусть A : V → W — линейный оператор. Множество
                    ker A = { v ∈ V | A(v) = 0 } ⊂ V
называется ядром оператора A. Множество
                im A = { w ∈ W | ∃v ∈ V : w = A(v) } ⊂ W
называется образом оператора A.
   Предложение 2. Ядро и образ любого линейного оператора являются
подпространствами пространств V и W соответственно.
  Определение 5. Линейный оператор A : V → W называется изоморфиз-
мом, если ker A = 0, а im A = W . Если A — изоморфизм, то пространства V
и W называются изоморфными.
  Пример 5. Пусть Aλ оператор умножения на λ (см. пример 4). Тогда
               (                           (
                 0, если λ 6= 0,             V, если λ =6 0,
      ker Aλ =                   и im Aλ =
                 V, если λ = 0,              0, если λ = 0.
   Определение 6. Пусть U , V и W — векторные пространства, а A : U →
→ V , B : V → W — линейные операторы. Отображение B ◦ A : U → W ,
действующее по правилу
                     (B ◦ A)(u) = B(A(u)),   u ∈ U,

Страницы