Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 37 стр.

36                      §6. Векторные пространства и линейные операторы

называется композицией (или произведением) операторов A и B.
   Предложение 3. Композиция линейных операторов является линейным
оператором.
  Определение 7. Пусть A, B : V → W — линейные операторы. Отобра-
жение A + B : V → W , действующее по правилу
                     (A + B)(v) = A(v) + B(v),      v ∈ V,
называется суммой операторов A и B. Если λ — число, то отображение
                          (λA)(v) = λA(v),    v ∈ V,
называется произведением оператора на число.
   Предложение 4. Если A и B — линейные операторы, а λ — действитель-
ное число, то A + B и λA — также линейные операторы.
     Пример 6. Если λ и µ — действительные числа, то выполняются равенства
                      Aλ + Aµ = Aλ+µ ,    Aλ ◦ Aµ = Aλµ .
  Предложение 5. Операции над линейными операторами, введённые в
определениях 6 и 7, обладают следующими свойствами:
                        A + B = B + A,
                        A + (B + C) = (A + B) + C,
                        0 + A = A + 0 = A,
                        − A = (−1) · A,
                        λ(µA) = (λµ)A,
                        λ(A + B) = λA + λB,
                        1 · A = A.
Кроме того, имеют место следующие тождества:
                        A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C,
                        A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C,
                        (A + B) ◦ C = A ◦ C + B ◦ C.
   Следствие 1. Множество линейных операторов, действующих из вектор-
ного пространства V в векторное пространство W , само образует векторное
пространство, которое обозначается через Lin(V, W ).
     Определение 8. Если A, B ∈ Lin(V, V ), то оператор
                           [A, B] = A ◦ B − B ◦ A
называется коммутатором операторов A и B.