Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§7. Базисы и размерность 37
Определение 9. Оператор E = E
V
, действующий из пространства V в
себя по правилу
E(v) = v, v ∈ V,
называется тождественным. Оператор A ∈ Lin(V, V ) называется обратимым,
если существует такой оператор A
−1
∈ Lin(V, V ), что
A ◦ A
−1
= A
−1
◦ A = E.
При этом оператор A
−1
называется обратным к оператору A. Замет им, что
справедливо тождество (A
−1
)
−1
= A, т.е. оператор A обратен к A
−1
.
Предложение 6. Для любого линейного оператора A: V → W выполня-
ются равенства
E
W
◦ A = A ◦ E
V
= A.
Определение 10. Пусть A : V → V — линейный оператор. Число λ ∈ R
называется собственным значением эт о го оператора, если существует такой
вектор v 6= 0 , что
A(v) = λv. (1)
При этом v называе т ся собственным вектором, о т в ечающим собственному
значению λ.
Предложение 7. Множество собственных векторов, о т в ечающих некото-
рому λ, образует линейное подпространство в V .
Это подпространство называется с обст венным подпространством и, как
правило, обозначается через V
λ
. В частност и, пространство V
0
совпадает с
ядром оператора A.
§7. Базисы и размерность
Определение 11. Пусть V — векторное пространство.
1. Линейной комбинацией векторов v
1
, . . . , v
r
∈ V называет ся вектор
v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ . . . + λ
r
v
r
, λ
1
, λ
2
, . . . , λ
r
∈ R.
2. Векторы v
1
, . . . , v
r
называются линейно зависимыми, если существуют
такие числа λ
1
, λ
2
, . . . , λ
r
, хотя бы одно из которых не равно нулю, что
λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ . . . + λ
r
v
r
= 0.
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
§7. Базисы и размерность                                                        37

   Определение 9. Оператор E = EV , действующий из пространства V в
себя по правилу
                         E(v) = v, v ∈ V,
называется тождественным. Оператор A ∈ Lin(V, V ) называется обратимым,
если существует такой оператор A−1 ∈ Lin(V, V ), что
                             A ◦ A−1 = A−1 ◦ A = E.
При этом оператор A−1 называется обратным к оператору A. Заметим, что
справедливо тождество (A−1)−1 = A, т.е. оператор A обратен к A−1.
  Предложение 6. Для любого линейного оператора A : V → W выполня-
ются равенства
                     EW ◦ A = A ◦ EV = A.
   Определение 10. Пусть A : V → V — линейный оператор. Число λ ∈ R
называется собственным значением этого оператора, если существует такой
вектор v 6= 0, что
                             A(v) = λv.                              (1)
При этом v называется собственным вектором, отвечающим собственному
значению λ.
  Предложение 7. Множество собственных векторов, отвечающих некото-
рому λ, образует линейное подпространство в V .
  Это подпространство называется собственным подпространством и, как
правило, обозначается через Vλ . В частности, пространство V0 совпадает с
ядром оператора A.


§7. Базисы и размерность
  Определение 11. Пусть V — векторное пространство.
   1. Линейной комбинацией векторов v1, . . . , vr ∈ V называется вектор
              v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λr vr ,   λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ R.
   2. Векторы v1 , . . . , vr называются линейно зависимыми, если существуют
      такие числа λ1 , λ2 , . . . , λr , хотя бы одно из которых не равно нулю, что
                          λ1v1 + λ2 v2 + . . . + λr vr = 0.
      В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Страницы