Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. Матрицы и определители 39
Предложение 10. Линейная оболочка является подпространством.
Определение 14. Рангом системы векторов v
1
, . . . , v
r
∈ V называется
размерность её линейной оболочки этой системы. Ранг сис т емы обозначается
через rank(v
1
, . . . , v
r
).
Таким образом, rank(v
1
, . . . , v
r
) = dim L(v
1
, . . . , v
r
).
Следствие 3. Если v
1
, . . . , v
r
∈ V , то rank(v
1
, . . . , v
r
) 6 dim V .
§8. Матрицы и определители
Пусть V — конечномерное векторное пространство и e
1
, . . . , e
n
— его базис.
Рассмотрим вектор v = λ
1
e
1
+. . .+λ
n
e
n
∈ V и сопоставим ему элемент ϕ(v) =
= (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ R
n
n-мерного арифметического пространства.
Предложение 11. Построенное отображение ϕ(v) является изоморфиз-
мом между V и R
n
.
Следствие 4. Все векторные пространства размерности n попарно изо -
морфны между собой и изоморфны n-мерному арифметическому простран-
ству.
Пусть V и W — векторные пространства размерност и n и m соо т в етственно
и e
1
, . . . , e
n
∈ V , f
1
, . . . , f
n
∈ W — их базисы. Если A: V → W — линейный
оператор, то каждый ве ктор A(e
i
) е динственным образом представляется в
виде
A(e
i
) = a
i1
f
1
+a
i2
f
2
+···+a
in
f
n
, i = 1, . . . , n, a
ij
∈ R, j = 1, . . . , m. (2)
Определение 15. Таблица
M =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
, (3)
состоящая из m строк и n столбцов, называется м атр ицей (размера m × n)
оператора A, записанной в базис а х e
1
, . . . , e
n
и f
1
, . . . , f
n
. Если m = n, т о
матрица называется квадратной.
Пример 8. Оператору A
λ
из примера 4 соответств ует матрица
λ 0 . . . 0
0 λ . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λ
,
§8. Матрицы и определители                                                                     39

   Предложение 10. Линейная оболочка является подпространством.
   Определение 14. Рангом системы векторов v1, . . . , vr ∈ V называется
размерность её линейной оболочки этой системы. Ранг системы обозначается
через rank(v1, . . . , vr ).
   Таким образом, rank(v1, . . . , vr ) = dim L(v1 , . . . , vr ).
   Следствие 3. Если v1 , . . . , vr ∈ V , то rank(v1, . . . , vr ) 6 dim V .

§8. Матрицы и определители
   Пусть V — конечномерное векторное пространство и e1 , . . . , en — его базис.
Рассмотрим вектор v = λ1 e1 +. . .+λn en ∈ V и сопоставим ему элемент ϕ(v) =
= (λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn n-мерного арифметического пространства.
  Предложение 11. Построенное отображение ϕ(v) является изоморфиз-
мом между V и Rn .
   Следствие 4. Все векторные пространства размерности n попарно изо-
морфны между собой и изоморфны n-мерному арифметическому простран-
ству.
   Пусть V и W — векторные пространства размерности n и m соответственно
и e1 , . . . , en ∈ V , f1, . . . , fn ∈ W — их базисы. Если A : V → W — линейный
оператор, то каждый вектор A(ei ) единственным образом представляется в
виде
 A(ei) = ai1 f1 + ai2 f2 + · · · + ain fn ,   i = 1, . . . , n,   aij ∈ R,   j = 1, . . . , m. (2)
   Определение 15. Таблица
                                                               
                                    a11 a12           . . . a1n
                                   a21 a22           . . . a2n 
                               M =
                                   ...  ..                     ,
                                                      . . . ...                              (3)
                                          .
                                   am1 am2            . . . amn
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей (размера m × n)
оператора A, записанной в базисах e1 , . . . , en и f1 , . . . , fn. Если m = n, то
матрица называется квадратной.
   Пример 8. Оператору Aλ из примера                  4 соответствует матрица
                                                         
                             λ 0 ...                   0
                           0 λ . . .                  0
                           . . .
                            .. .. . .                 ..  ,
                                                        .
                             0 0 ...                   λ

Страницы