Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40 §8. Матрицы и определители
называемая скалярной. Если λ = 1, то эта матрица называется единичной и
обозначается через E. Заметим также, что матрицы вида
λ
1
0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λ
n
называются диагональными.
Предложение 12. При выбранных базисах пространст в V и W каждый
линейный оператор однозначно определяет ся своей матрицей. При этом, ес-
ли v = λ
1
e
1
+ . . . + λ
n
e
n
, то
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
λ
1
λ
2
.
.
.
λ
n
=
µ
1
µ
2
.
.
.
µ
m
,
где
µ
i
= a
i1
λ
1
+ a
i2
λ
2
+ . . . + a
in
λ
n
=
n
X
j=1
a
ij
λ
j
, i = 1, . . . , m. (4)
Вектор (µ
1
, . . . , µ
m
) ∈ R
m
, вычисляемый по формуле (4), называется ре-
зультатом действия матрицы M на вектор (λ
1
, . . . , λ
n
) ∈ R
n
.
Предложение 13. Пусть A, B : V → W — линейные операторы и M =
= (a
ij
), N = (b
ij
) — матрицы, соответствующие этим операторам в некоторых
выбранных базисах. Тогда их сумме соответствует матрица
M + N =
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
. . . a
1n
+ b
1n
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
. . . a
2n
+ b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
+ b
m1
a
m2
+ b
m2
. . . a
mn
+ b
mn
,
которая называется суммой матриц M и N, а оператору λA — матрица
λM =
λa
11
λa
12
. . . λa
1n
λa
21
λa
22
. . . λa
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λa
m1
λa
m2
. . . aλ
mn
— результат умножения матрицы M на число λ.
Таким образом, множество матриц образует векторное пространство, обыч-
но обозначаемое чере з Mat(m, n). Его раз м ерность равна nm.
40                                                  §8. Матрицы и определители

называемая скалярной. Если λ = 1, то эта матрица называется единичной и
обозначается через E. Заметим также, что матрицы вида
                                           
                              λ1 0 . . . 0
                             0 λ2 . . . 0 
                            . . .
                             .. .. . . ... 
                                            

                              0 0 . . . λn
называются диагональными.
   Предложение 12. При выбранных базисах пространств V и W каждый
линейный оператор однозначно определяется своей матрицей. При этом, ес-
ли v = λ1 e1 + . . . + λn en , то
                                               
                        a11 a12 . . . a1n        λ1          µ1
                       a21 a22 . . . a2n   λ2   µ2 
                       .        .. . . . ..   .  =  . ,
                       ..        .        .   ..   .. 
                        am1 am2 . . . amn        λn          µm
где
                                                 X n
          µi = ai1 λ1 + ai2λ2 + . . . + ain λn =     aij λj , i = 1, . . . , m. (4)
                                              j=1

   Вектор (µ1, . . . , µm ) ∈ Rm , вычисляемый по формуле (4), называется ре-
зультатом действия матрицы M на вектор (λ1 , . . . , λn) ∈ Rn .
   Предложение 13. Пусть A, B : V → W — линейные операторы и M =
= (aij ), N = (bij ) — матрицы, соответствующие этим операторам в некоторых
выбранных базисах. Тогда их сумме соответствует матрица
                                                                
                             a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
                           a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n 
              M +N =            ..        ..    . .       .
                                                           .
                                                                 ,
                                 .         .        .     .     
                            am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
которая называется суммой матриц       M и N , а оператору λA — матрица
                                                      
                            λa11       λa12 . . . λa1n
                           λa21       λa22 . . . λa2n 
                     λM = 
                           ...          ..  ...    .. 
                                          .          . 
                            λam1       λam2 . . . aλmn
— результат умножения матрицы M на число λ.
   Таким образом, множество матриц образует векторное пространство, обыч-
но обозначаемое через Mat(m, n). Его размерность равна nm.

Страницы