Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. Матрицы и определители 41
Сопоставим каждой матрице вида (3) матрицу
M
∗
=
a
11
a
21
. . . a
m1
a
12
a
22
. . . a
m2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
. . . a
mn
. (5)
Матрица M
∗
называется транспонированной к матрице M и имеет размер-
ность m × n. Таким образом, операция транспонирования матриц является
отображением из пространства Mat(m, n) в пространство Mat(n, m).
Предложение 14. Отображение транспонирования
∗: Mat(n, m) → Mat(m, n)
является линейным, причём ∗ ◦ ∗ = id, т.е.
(M
∗
)
∗
= M
для любой матрицы M.
Если M — квадратная матрица и M
∗
= M, то эта матрица называется
симметрической. Таким образом, симметрические матрицы характеризуются
свойством
a
ij
= a
ji
для любых i, j = 1, . . . , n.
Предложение 15. Пусть A: U → V , B : V → W — линейные операто-
ры, где U, V и W — векторные пространства размерностей n, m и k соот-
ветственно. Тогда, если этим операторам соответствуют мат рицы M = (a
il
)
и N = (b
lj
), то их композиции со от в етствует м а т рица M · N = (c
ij
) размер-
ности n × k, где
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ . . . + a
im
b
mj
=
m
X
s=1
a
is
b
sj
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k.
Матрица M · N называется произведением (или композицией) мат риц M
и N. Если M и N — квадратные матрицы, то разность [M, N] = M ·N −N ·M
называется их коммутатором.
Преобразование матриц при замене б азисов. Пусть A : V → W — не-
который линейный оператор и M = (a
ij
) — его матрица, записанная в баз и-
сах e
1
, . . . , e
n
и f
1
, . . . , f
m
пространств V и W соответственно. Пусть e
′
1
, . . . , e
′
n
и f
′
1
, . . . , f
′
m
— другие базисы этих пространств . Тогда в этих базисах опера-
тор A будет представлен матрицей M
′
= (a
′
ij
). С другой стороны, векторы
старых базисов выражаются через новые:
e
i
= b
i1
e
′
1
+ . . . + b
in
e
′
n
, i = 1, . . . , n, f
j
= c
j1
f
′
1
+ . . . + c
jm
f
′
m
, j = 1, . . . , m.
§8. Матрицы и определители                                                                         41

   Сопоставим каждой матрице вида (3)                    матрицу
                                                                  
                             a11 a21                     . . . am1
                           a12 a22                      . . . am2 
                      M∗ = 
                            ...   ..                              .
                                                         . . . ...                               (5)
                                    .
                             a1n a2n                     . . . amn
Матрица M ∗ называется транспонированной к матрице M и имеет размер-
ность m × n. Таким образом, операция транспонирования матриц является
отображением из пространства Mat(m, n) в пространство Mat(n, m).
   Предложение 14. Отображение транспонирования
                                 ∗ : Mat(n, m) → Mat(m, n)
является линейным, причём ∗ ◦ ∗ = id, т.е.
                                           (M ∗ )∗ = M
для любой матрицы M.
   Если M — квадратная матрица и M ∗ = M, то эта матрица называется
симметрической. Таким образом, симметрические матрицы характеризуются
свойством
                               aij = aji
для любых i, j = 1, . . . , n.
   Предложение 15. Пусть A : U → V , B : V → W — линейные операто-
ры, где U , V и W — векторные пространства размерностей n, m и k соот-
ветственно. Тогда, если этим операторам соответствуют матрицы M = (ail )
и N = (blj ), то их композиции соответствует матрица M · N = (cij ) размер-
ности n × k, где
                                            m
                                            X
 cij = ai1 b1j + ai2b2j + . . . + aim bmj =   ais bsj , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k.
                                                   s=1
   Матрица M · N называется произведением (или композицией) матриц M
и N . Если M и N — квадратные матрицы, то разность [M, N ] = M ·N −N ·M
называется их коммутатором.
Преобразование матриц при замене базисов. Пусть A : V → W — не-
который линейный оператор и M = (aij ) — его матрица, записанная в бази-
сах e1 , . . . , en и f1 , . . . , fm пространств V и W соответственно. Пусть e′1 , . . . , e′n
и f1′ , . . . , fm
                 ′
                   — другие базисы этих пространств. Тогда в этих базисах опера-
тор A будет представлен матрицей M ′ = (a′ij ). С другой стороны, векторы
старых базисов выражаются через новые:
ei = bi1e′1 + . . . + bine′n , i = 1, . . . , n,    fj = cj1 f1′ + . . . + cjm fm
                                                                                ′
                                                                                  , j = 1, . . . , m.

Страницы