Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42 §8. Матрицы и определители
Пусть F = (b
il
) и G = (c
lj
) — соответствующие матрицы (размерности n × n
и m × m). Тогда
F · M
′
= M · G. (6)
Если оператор A обратим и ему соответствует матрица M, т о матрица,
соответствующая оператору A
−1
, называется обратной к матрице M и обо-
значается через M
−1
. Таким образом, M ·M
−1
= M
−1
·M = E. Наша задача —
научиться определять, когда матрица о б ратима и вычислять обратную мат-
рицу, если она существует.
Замечание. Матрицы перехода от векторов одного базиса к другому
всегда обратимы. Поэтому равенство (6) можно переписать в виде M
′
=
F
−1
· M · G. В частности, если линейный оператор действует из простран-
ства V в то же самое пространство, то
M
′
= F
−1
· M · F. (7)
Подстановки и пе реста новки.
Определение 16. Подстановкой длины n называется взаимно-однознач-
ное отображение множества первых n натуральных чисел в себя. Множество
перестановок длины n обо значается через Σ
n
. Композиция таких отображе-
ний называется композицией подстановок.
Подстановку σ ∈ Σ
n
принято представлять таблицей
σ =
1 2 . . . k . . . n
i
1
i
2
. . . i
k
. . . i
n
, 1 6 i
k
6 n, i
α
6= i
β
,
которая означает, что σ(1) = i
1
, σ(2 ) = i
2
, . . . , σ( n) = i
n
. Нижняя строчка
этой таблицы называется перестановкой. Количество подстановок (и пере-
становок) длины n равно n!.
Замечание. Напомним, что величина n! (читается «э н фактори´ал») опре-
деляется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 ·
· . . . ·(n − 1) ·n.
Пример 9. Существует шесть разных подстановок длины три:
σ
1
=
1 2 3
1 2 3
, σ
2
=
1 2 3
1 3 2
, σ
3
=
1 2 3
2 3 1
,
σ
4
=
1 2 3
2 1 3
, σ
5
=
1 2 3
3 2 1
, σ
6
=
1 2 3
3 1 2
.
(8)
Простейшими подстановками являются транспозиции — подстановки, ко-
торые пере ставляют ме ж ду собой два элемента, а остальные оставляют на
42                                              §8. Матрицы и определители

Пусть F = (bil ) и G = (clj ) — соответствующие матрицы (размерности n × n
и m × m). Тогда
                                 F · M ′ = M · G.                      (6)
   Если оператор A обратим и ему соответствует матрица M, то матрица,
соответствующая оператору A−1, называется обратной к матрице M и обо-
значается через M −1 . Таким образом, M ·M −1 = M −1 ·M = E. Наша задача —
научиться определять, когда матрица обратима и вычислять обратную мат-
рицу, если она существует.
   Замечание. Матрицы перехода от векторов одного базиса к другому
всегда обратимы. Поэтому равенство (6) можно переписать в виде M ′ =
F −1 · M · G. В частности, если линейный оператор действует из простран-
ства V в то же самое пространство, то
                              M ′ = F −1 · M · F.                           (7)

Подстановки и перестановки.
   Определение 16. Подстановкой длины n называется взаимно-однознач-
ное отображение множества первых n натуральных чисел в себя. Множество
перестановок длины n обозначается через Σn . Композиция таких отображе-
ний называется композицией подстановок.
   Подстановку σ ∈ Σn принято представлять таблицей
                                         
                  1 2 ... k ... n
            σ=                              , 1 6 ik 6 n, iα 6= iβ ,
                  i1 i2 . . . ik . . . in
которая означает, что σ(1) = i1 , σ(2) = i2, . . . , σ(n) = in . Нижняя строчка
этой таблицы называется перестановкой. Количество подстановок (и пере-
становок) длины n равно n!.
     Замечание. Напомним, что величина n! (читается «эн факториа́л») опре-
деляется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 ·
· . . . · (n − 1) · n.
     Пример 9. Существует шесть разных подстановок длины три:
                                                     
                   1 2 3            1 2 3            1 2 3
           σ1 =           , σ2 =            , σ3 =          ,
                 1 2 3          1 3 2          2 3 1                  (8)
                   1 2 3            1 2 3            1 2 3
           σ4 =           , σ5 =            , σ6 =          .
                   2 1 3            3 2 1            3 1 2
   Простейшими подстановками являются транспозиции — подстановки, ко-
торые переставляют между собой два элемента, а остальные оставляют на

Страницы