Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44 §8. Матрицы и определители
5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) являются суммой двух
слагаемых, то и определитель является суммой соответствующих опре-
делителей, например,
a
11
+ a
′
11
a
12
+ a
′
12
. . . a
1n
+ a
′
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
=
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
+
a
′
11
a
′
12
. . .
′
a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
.
6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить
линейную комбинацию других строк.
7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональ-
ных элементов,
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
= a
11
a
22
. . . a
nn
.
8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произве-
дению их определителей, ∆
M·N
= ∆
M
∆
N
.
Из после днего равенства и равенства (7) вытекает ещё один важный ре-
зульта т.
Следствие 5. Пусть A: V → V — линейный оператор и M — е го матрица
в каком-нибудь базисе пространства V . Тогда опреде лите ль ∆
M
не зависит
от выбора базиса, а определяется сам им оператором A.
Определение 19. Пуст ь M— квадратная матрица и a
ij
— е ё элемент.
Минором, дополнительным к этому элеме нту, называется определитель мат-
рицы, полученной из M вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Этот опре-
делитель обозначается через M
ij
. Величина A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
называется ал-
гебраическим дополнением элемента a
ij
.
Теорема 2 (о разложении по строке или ст о лбцу). Пусть M = (a
ij
) —
матрица размера n ×n. Тогда для любых i и j имеют место тождества
∆
M
= (−1)
i+1
a
i1
M
i1
+ (−1)
i+2
a
i2
M
i2
+ . . . + (−1)
i+n
a
in
M
in
(10)
и
∆
M
= (−1)
j+1
a
1j
M
1j
+ (−1)
j+2
a
2j
M
2j
+ . . . + (−1)
j+n
a
nj
M
nj
. (11)
Равенство (10) называет ся разложением определителя по i-й строке, а
равенство (11) — разложением по j-му ст олбцу.
44                                                    §8. Матрицы и определители

     5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) являются суммой двух
        слагаемых, то и определитель является суммой соответствующих опре-
        делителей, например,
a11 + a′11 a12 + a′12   . . . a1n + a′1n   a11 a12     . . . a1n  a′11 a′12   . . . ′ a1n
   a21        a22       ...      a2n       a21 a22     . . . a2n  a21 a22     . . . a2n
    ..         ..       ...       ..     = ..   ..     . . . ... + ...  ..    . . . ... .
     .          .                  .        .    .                       .
   an1        an2       ...      ann       an1 an2     . . . ann  an1 an2     . . . ann
     6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить
        линейную комбинацию других строк.
     7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональ-
        ных элементов,
                         a11 a12   . . . a1n
                          0 a22    . . . a2n
                          ..
                           .
                              ..
                               .   . . . ... = a11 a22 . . . ann .
                          0 0      . . . ann
     8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произве-
        дению их определителей, ∆M ·N = ∆M ∆N .
   Из последнего равенства и равенства (7) вытекает ещё один важный ре-
зультат.
   Следствие 5. Пусть A : V → V — линейный оператор и M — его матрица
в каком-нибудь базисе пространства V . Тогда определитель ∆M не зависит
от выбора базиса, а определяется самим оператором A.
   Определение 19. Пусть M— квадратная матрица и aij — её элемент.
Минором, дополнительным к этому элементу, называется определитель мат-
рицы, полученной из M вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Этот опре-
делитель обозначается через Mij . Величина Aij = (−1)i+j Mij называется ал-
гебраическим дополнением элемента aij .
  Теорема 2 (о разложении по строке или столбцу). Пусть M = (aij ) —
матрица размера n × n. Тогда для любых i и j имеют место тождества
          ∆M = (−1)i+1ai1Mi1 + (−1)i+2ai2Mi2 + . . . + (−1)i+nain Min               (10)
и
        ∆M = (−1)j+1a1j M1j + (−1)j+2a2j M2j + . . . + (−1)j+nanj Mnj .             (11)
   Равенство (10) называется разложением определителя по i-й строке, а
равенство (11) — разложением по j-му столбцу.

Страницы