Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46 §9. Системы линейных уравнений
Как практически найти вектор x?
Замечание. Если в невырожденной системе (13) (такие системы назы-
ваются однородными) вектор w равен нулю, то её единственным решением
является x = 0.
Метод обратной матрицы. В силу (15), решение имеет вид
x
1
x
2
.
.
.
x
n
= M
−1
b
1
b
2
.
.
.
b
n
.
Пользуяс ь теоремой 3, получаем
x
1
=
1
∆
(M
11
b
1
− M
21
b
2
+ . . . + (−1)
n+1
M
n1
x
n
),
x
2
=
1
∆
(−M
12
b
1
+ M
22
b
2
− . . . + (−1)
n+2
M
n2
x
n
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
i
=
1
∆
((−1)
i+1
M
1i
b
1
+ (−1)
i+2
M
2i
b
2
+ . . . + (−1)
i+n
M
ni
x
n
),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
n
=
1
∆
((−1)
n+1
M
1n
b
1
+ (−1)
n+2
M
2n
b
2
− . . . + M
nn
x
n
),
(16)
или
x
i
=
n
X
j=1
(−1)
i+j
M
ji
b
j
, j = 1, . . . , n, (17)
где M
ji
— минор, дополнительный к элементу a
ji
.
Правило Крамера. Рассмотрим определители
∆
i
=
a
11
. . . a
1,i−1
b
1
a
1,i+1
. . . a
1n
a
21
. . . a
2,i−1
b
2
a
2,i+1
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n,i−1
b
1
a
n,i+1
. . . a
nn
, i = 1, . . . , n. (18)
Тогда формулу (16) для решений системы можно переписать в виде
x
1
=
∆
1
∆
, x
2
=
∆
2
∆
, . . . , x
n
=
∆
n
∆
. (19)
Нахождение решений по формуле (19) называется правилом Крамера. Пра-
вилом Крамера можно пользоваться, если определитель решаемой системы
отличен от нуля.
46                                                  §9. Системы линейных уравнений

Как практически найти вектор x?
  Замечание. Если в невырожденной системе (13) (такие системы назы-
ваются однородными) вектор w равен нулю, то её единственным решением
является x = 0.

Метод обратной матрицы. В силу (15), решение имеет вид
                                 
                       x1            b1
                      x2 
                      .  = M −1  b.2  .
                                   
                      ..         .. 
                       xn            bn
Пользуясь теоремой 3, получаем
    
    
     x1 = ∆1 (M11b1 − M21 b2 + . . . + (−1)n+1Mn1xn ),
    
      x2 = ∆1 (−M12b1 + M22 b2 − . . . + (−1)n+2Mn2xn ),
    
    
    
    
    
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                                                                        (16)
    
     xi = ∆1 ((−1)i+1M1ib1 + (−1)i+2M2i b2 + . . . + (−1)i+nMni xn),
    
    
    
    
     . . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .
    
      xn = ∆1 ((−1)n+1M1n b1 + (−1)n+2M2n b2 − . . . + Mnn xn ),
    

или
                           n
                           X
                    xi =         (−1)i+j Mji bj ,      j = 1, . . . , n,                (17)
                           j=1

где Mji — минор, дополнительный к элементу aji .

Правило Крамера. Рассмотрим определители
               a11    . . . a1,i−1    b1 a1,i+1     . . . a1n
               a21    . . . a2,i−1    b2 a2,i+1     . . . a2n
          ∆i = ..     ...      ..      ..   ..      . . . ... ,     i = 1, . . . , n.   (18)
                .               .       .    .
               an1    . . . an,i−1    b1 an,i+1     . . . ann
Тогда формулу (16) для решений системы можно переписать в виде
                       ∆1        ∆2                ∆n
                          , x2 =
                       x1 =         , . . . , xn =    .          (19)
                       ∆          ∆                ∆
Нахождение решений по формуле (19) называется правилом Крамера. Пра-
вилом Крамера можно пользоваться, если определитель решаемой системы
отличен от нуля.

Страницы