Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 §9. Системы линейных уравнений
c
2
= (c
21
, c
22
, . . . , c
2l
),
. . . . . . . . . . . . .
c
k
= (c
k1
, c
k2
, . . . , c
kl
)
совпадает с рангом сист емы векторов
c
∗
1
= (c
11
, c
21
, . . . , c
k1
),
c
∗
2
= (c
12
, c
22
, . . . , c
k2
),
. . . . . . . . . . . . .
c
∗
l
= (c
1l
, c
2l
, . . . , c
kl
).
Определение 21. Рангом матрицы N называется ранг системы векто-
ров, составленной из её строк или столбцов. Ранг матрицы обозначается че-
рез rank N.
Определение 22. Пусть
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
(21)
— система линейных уравнений. Матрица
˜
M =
a
11
a
12
. . . a
1n
b
1
a
21
a
22
. . . a
2n
b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
b
m
называется расширенной матрицей этой системы.
Теорема 4 (теорема Кронекера–Капелли). Система (21) имеет решение
тогда и то лько тогда, когда ранг r её матрицы M = (a
ij
) совпадает с рангом
её расширенной м а т рицы
˜
M. При этом решение системы зависит от произ-
вольных n−r параметров. В частности, система имеет единственное решение,
если n = r.
Собственные значения и собственные векторы. Пусть A: V → V —
линейный оператор и M — его матричная запись в некотором ба зисе про-
странства V . К ак, пользуясь матрицей M, найти собственные значения и
собственные векторы оператора A?
48                                                  §9. Системы линейных уравнений

                              c2 = (c21 , c22, . . . , c2l ),
                              . .. . .. . .. . .. .
                              ck = (ck1, ck2 , . . . , ckl )

совпадает с рангом системы векторов

                              c∗1 = (c11 , c21, . . . , ck1 ),
                              c∗2 = (c12 , c22, . . . , ck2 ),
                              . .. . .. . .. . .. .
                              c∗l = (c1l , c2l , . . . , ckl ).
   Определение 21. Рангом матрицы N называется ранг системы векто-
ров, составленной из её строк или столбцов. Ранг матрицы обозначается че-
рез rank N .
     Определение 22. Пусть
                 
                 
                   a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
                 
                 a x + a x + . . . + a x = b ,
                     21 1    22 2             2n n    2
                                                                              (21)
                 
                   . .. . .. . .. .. . .. . .. . ..
                 
                 
                    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
— система линейных уравнений. Матрица
                                                
                           a11 a12 . . . a1n b1
                          a21 a22 . . . a2n b2 
                    M̃ = 
                          ...   .. . . . ..  .. 
                                  .        .   .
                           am1 am2 . . . amn bm
называется расширенной матрицей этой системы.
   Теорема 4 (теорема Кронекера–Капелли). Система (21) имеет решение
тогда и только тогда, когда ранг r её матрицы M = (aij ) совпадает с рангом
её расширенной матрицы M̃. При этом решение системы зависит от произ-
вольных n−r параметров. В частности, система имеет единственное решение,
если n = r.

Собственные значения и собственные векторы. Пусть A : V → V —
линейный оператор и M — его матричная запись в некотором базисе про-
странства V . Как, пользуясь матрицей M, найти собственные значения и
собственные векторы оператора A?

Страницы