Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. Системы линейных уравнений 49
Пусть v 6= 0 — собственный вектор, соответствующий собственному значе-
нию λ, и x
1
, . . . , x
n
— его координаты, а a
ij
— элементы матрицы M. Тогда
из определения 10 следует, что должны выполняться раве нства
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= λx
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= λx
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
nn
x
n
= λx
n
,
или
(a
11
− λ)x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= 0,
a
21
x
1
+ (a
22
− λ)x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + (a
nn
− λ)x
n
= 0.
Иными словами, однородная система линейных уравнений
(M − λE)v = 0 (22)
должна иметь ненулевое решение. В силу з а м ечания на с. 46 это возможно
тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы (22) равен нулю:
|M − λE| = 0. (23)
Очевидно, выраже ние, стоящ ее в левой части уравнения (23), являе т ся поли-
номом степени n относительно λ, т.е. имеет вид
|M − λE| = d
0
+ d
1
λ + d
2
λ
2
+ ···+ d
n
λ
n
.
При это м , очевидно, d
n
= (−1)
n
, а коэффициент d
0
совпадает с определителем
матрицы M.
Определение 23. Полином χ
M
(λ) = |M − λE| называется характери-
стическим полиномом (или многочленом) матрицы M.
Таким образом, дейс т в ительное число λ является собственным значением
матрицы M тогда и только тогда, когда оно есть корень её ха рактеристиче-
ского полинома χ
M
(λ). Чтобы найти с о от в етствующий собственный в ектор,
нужно решить систему уравнений (22) относительно v при данном значе нии λ.
Пример 10. Характеристический полином мат рицы
M =
a
11
a
12
a
21
a
22
имеет вид
§9. Системы линейных уравнений                                          49

   Пусть v 6= 0 — собственный вектор, соответствующий собственному значе-
нию λ, и x1, . . . , xn — его координаты, а aij — элементы матрицы M. Тогда
из определения 10 следует, что должны выполняться равенства
                     a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = λx1 ,
                     a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = λx2 ,
                     . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .
                     an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = λxn ,
или
                   (a11 − λ)x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = 0,
                   a21 x1 + (a22 − λ)x2 + . . . + a2n xn = 0,
                    . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .
                   an1 x1 + an2 x2 + . . . + (ann − λ)xn = 0.
Иными словами, однородная система линейных уравнений
                               (M − λE)v = 0                           (22)
должна иметь ненулевое решение. В силу замечания на с. 46 это возможно
тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы (22) равен нулю:
                                |M − λE| = 0.                          (23)
Очевидно, выражение, стоящее в левой части уравнения (23), является поли-
номом степени n относительно λ, т.е. имеет вид
                 |M − λE| = d0 + d1 λ + d2 λ2 + · · · + dn λn .
При этом, очевидно, dn = (−1)n, а коэффициент d0 совпадает с определителем
матрицы M.
  Определение 23. Полином χM (λ) = |M − λE| называется характери-
стическим полиномом (или многочленом) матрицы M.
   Таким образом, действительное число λ является собственным значением
матрицы M тогда и только тогда, когда оно есть корень её характеристиче-
ского полинома χM (λ). Чтобы найти соответствующий собственный вектор,
нужно решить систему уравнений (22) относительно v при данном значении λ.
  Пример 10. Характеристический полином матрицы
                                       
                                a11 a12
                          M=
                                a21 a22
имеет вид

Страницы