Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

50 §9. Системы линейных уравнений
χ
M
(λ) =
a
11
− λ a
12
a
21
a
22
− λ
= (a
11
− λ)(a
22
− λ) − a
12
a
21
=
= λ
2
− (a
11
+ a
22
) + a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Таким образом, чтобы найти собственные значения этой матрицы, нужно ре-
шить квадратное уравнение
λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
− a
12
a
21
= 0. (24)
Дискриминант этого уравнения равен (a
11
−a
22
)
2
+ 4a
12
a
21
, и поэ т о м у матри-
ца M имеет собстве нные решения тогда и только тогда, когда
(a
11
− a
22
)
2
+ 4a
12
a
21
> 0. (25)
Пример 11. В случае матрицы размера 3×3 характеристический полином
имеет вид
χ
M
(λ) = d
0
− d
1
λ + d
2
λ
2
− λ
3
,
где d
0
= ∆
M
(как и для любой матрицы),
d
1
=
a
22
a
23
a
32
a
33
+
a
11
a
13
a
31
a
33
+
a
11
a
12
a
21
a
22
,
т.е. совпадает с суммой миноров, дополнительных к диагональным элементам ,
и, наконец,
d
2
= tr M = a
11
+ a
22
+ a
33
.
Пример 12. Важным для дальнейшег о частным случаем примера 10 явля-
ются со б ственные значе ния симметрических 2 × 2-матриц, т.е. матриц вида
a
11
a
12
a
12
a
22
.
В этом случае неравенс т во (25) имеет вид
(a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2
12
> 0
и, значит, выполняется всегда. Заметим, что равенство возможно тогда и
только т о гда, когда
a
11
= a
22
, a
12
= 0,
т.е. когда M — скалярная ма т рица, а если неравенство строгое, то существуют
два различных собств енных значения. Обозначим их через λ
1
и λ
2
, и пусть v
1
,
v
2
— соответствующие им собственные векторы. Рассмотрим такие числа µ
1
и µ
2
, что
µ
1
v
1
+ µ
2
v
2
= 0. (26)
Применяя к этому равенству матрицу M, получаем
µ
1
λ
2
v
1
+ µ
2
λ
2
v
2
= 0. (27)
50                                          §9. Системы линейных уравнений

            a11 − λ   a12
 χM (λ) =                   = (a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 =
              a21   a22 − λ
                                           = λ2 − (a11 + a22 ) + a11a22 − a12 a21.
Таким образом, чтобы найти собственные значения этой матрицы, нужно ре-
шить квадратное уравнение
                   λ2 − (a11 + a22)λ + a11 a22 − a12a21 = 0.                   (24)
Дискриминант этого уравнения равен (a11 − a22 )2 + 4a12a21 , и поэтому матри-
ца M имеет собственные решения тогда и только тогда, когда
                           (a11 − a22 )2 + 4a12a21 > 0.                        (25)
   Пример 11. В случае матрицы размера 3×3 характеристический полином
имеет вид
                      χM (λ) = d0 − d1λ + d2λ2 − λ3 ,
где d0 = ∆M (как и для любой матрицы),
                           a22 a23   a a     a a
                    d1 =           + 11 13 + 11 12 ,
                           a32 a33   a31 a33 a21 a22
т.е. совпадает с суммой миноров, дополнительных к диагональным элементам,
и, наконец,
                         d2 = tr M = a11 + a22 + a33.
  Пример 12. Важным для дальнейшего частным случаем примера 10 явля-
ются собственные значения симметрических 2 × 2-матриц, т.е. матриц вида
                                      
                               a11 a12
                                         .
                               a12 a22
В этом случае неравенство (25) имеет вид
                            (a11 − a22 )2 + 4a212 > 0
и, значит, выполняется всегда. Заметим, что равенство возможно тогда и
только тогда, когда
                            a11 = a22 , a12 = 0,
т.е. когда M — скалярная матрица, а если неравенство строгое, то существуют
два различных собственных значения. Обозначим их через λ1 и λ2 , и пусть v1,
v2 — соответствующие им собственные векторы. Рассмотрим такие числа µ1
и µ2 , что
                              µ1 v1 + µ2 v2 = 0.                        (26)
Применяя к этому равенству матрицу M, получаем
                             µ1 λ2 v1 + µ2 λ2 v2 = 0.                          (27)

Страницы