Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§10. Плоскость и трёхмерное пространство 51
Умножая равенство (26) на λ
1
и вычитая из (27), получаем
(λ
2
− λ
1
)µ
2
v
2
= 0.
Аналогично, умножая на λ
2
, получим
(λ
1
− λ
2
)µ
1
v
1
= 0.
Поскольку λ
1
6= λ
2
, а векторы v
1
и v
2
— ненулевые, из этого следует, что µ
1
=
= µ
2
= 0, т.е. v
1
и v
2
— линейно независ имы. Значит, их можно выбрать в
качестве нового базиса. В этом базисе рассматриваемая матрица будет иметь
вид
λ
1
0
0 λ
2
.
Итак, мы доказали следующий результат:
Теорема 5. Для любой симмет ричес кой матрицы 2 × 2 существует ба-
зис, состоящий из собственных векторов. В этом базисе матрица принимает
диагональный вид, причём на диагонали стоят её собственные значения.
§10. Плоскость и трёхмерное пространство
Точкой n-мерного арифметического пространства R
n
называется набор чи-
сел A = (a
1
, . . . , a
n
), которые называются координатами этой точки. Упо-
рядоченная пара точек AB называется направленным отрезком, соединяю-
щим точки A и B. При этом A называется началом этого отрезка, а B его
концом. Говорят также, что отрез о к AB приложен к точке A. От ре зок OA,
где O = (0, . . . , 0) — начало координат, называется радиус-вектором точки A.
Каждому направленному отрезку AB соответст в ует вектор v
AB
= (b
1
−
−a
1
, . . . , b
n
−a
n
). Точки A
0
, . . . , A
k
(или их радиус-векторы) называются кол-
линеарными, если ранг системы векторов v
A
0
A
1
, . . . , v
A
0
A
k
равен 1, и компла-
нарными, если её ранг равен 2.
Скалярным произведением в екторов v = (v
1
, . . . , v
n
) и w = (w
1
, . . . , w
n
)
называется ве личина
(v, w) = v
1
w
1
+ v
2
w
2
+ . . . + v
n
w
n
. (28)
Величина
kvk =
p
(v, v) =
q
v
2
1
+ v
2
2
+ . . . + v
2
n
(29)
называется длиной в ектора v.
§10. Плоскость и трёхмерное пространство                                           51

Умножая равенство (26) на λ1 и вычитая из (27), получаем
                                 (λ2 − λ1 )µ2 v2 = 0.
Аналогично, умножая на λ2 , получим
                                 (λ1 − λ2 )µ1 v1 = 0.
Поскольку λ1 6= λ2 , а векторы v1 и v2 — ненулевые, из этого следует, что µ1 =
= µ2 = 0, т.е. v1 и v2 — линейно независимы. Значит, их можно выбрать в
качестве нового базиса. В этом базисе рассматриваемая матрица будет иметь
вид
                                         
                                    λ1 0
                                            .
                                     0 λ2
Итак, мы доказали следующий результат:
   Теорема 5. Для любой симметрической матрицы 2 × 2 существует ба-
зис, состоящий из собственных векторов. В этом базисе матрица принимает
диагональный вид, причём на диагонали стоят её собственные значения.



§10. Плоскость и трёхмерное пространство
   Точкой n-мерного арифметического пространства Rn называется набор чи-
сел A = (a1, . . . , an ), которые называются координатами этой точки. Упо-
рядоченная пара точек AB называется направленным отрезком, соединяю-
щим точки A и B. При этом A называется началом этого отрезка, а B его
концом. Говорят также, что отрезок AB приложен к точке A. Отрезок OA,
где O = (0, . . . , 0) — начало координат, называется радиус-вектором точки A.
   Каждому направленному отрезку AB соответствует вектор vAB = (b1 −
− a1 , . . . , bn − an ). Точки A0, . . . , Ak (или их радиус-векторы) называются кол-
линеарными, если ранг системы векторов vA0 A1 , . . . , vA0 Ak равен 1, и компла-
нарными, если её ранг равен 2.
   Скалярным произведением векторов v = (v1, . . . , vn) и w = (w1, . . . , wn)
называется величина
                        (v, w) = v1w1 + v2w2 + . . . + vnwn .                    (28)
Величина                            q
                           p
                      kvk = (v, v) = v12 + v22 + . . . + vn2                     (29)
называется длиной вектора v.

Страницы