ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§10. Плоскость и трёхмерное пространство 53
Замечание. Если x
1
= x
2
, то уравнением прямой, проходящей через точ-
ки A
1
и A
2
, является x = x
1
, а если y
1
= y
2
, то y = y
1
. Равенства x
1
= x
2
и y
1
= y
2
не могут выполняться одновременно, поскольку A
1
и A
2
— разные
точки.
Уравнение прямой на плос кости можно также за дать в виде
ax + by + c = 0, (35)
где числа a и b одноврем енно не обраща ются в нуль. При этом ве ктор v = (a, b)
ортогонален этой прямой, и поэтому уравнение прямой, перпендикулярной
прямой (35) и проходя щей через точку A
1
(x
1
, y
1
), имеет вид
x − x
1
a
=
y − y
1
b
. (36)
Вводя новую переменную t ∈ R, уравнение (36) можно переписать в виде
x = at + x
1
, y = bt + y
1
, t ∈ R. (37)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а пере-
менная t — параметром. Вектор v = (a, b) называется направляющим векто-
ром прямой, задаваемой уравнением (37).
Случай n = 3 (трёхмерное пространство). В трё хм ерном пространстве
координаты точек и векторов иногда принято обозначать через x (абсцисса), y
(ордината) и z (аппликата). Если A
0
(x
0
, y
0
, z
0
) и A
1
(x
1
, y
1
, z
1
) — точки, то
величина
kv
A
0
A
1
k =
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
+ (z
1
− z
0
)
2
(38)
совпадает с длиной отрезка A
0
A
1
. Если A
2
(x
2
, y
2
, z
2
) — третья точка , то ска-
лярное произведение ме ж ду векторами v
A
0
A
1
и v
A
0
A
2
вычисляется по формуле
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
) = ( x
1
−x
0
)(x
2
−x
0
) + (y
1
−y
0
)(y
2
−y
0
) + (z
1
−z
0
)(z
2
−z
0
). (39)
Как и в случае плоскости, имеет место равенство
cos α =
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
)
kv
A
0
A
1
k · kv
A
0
A
2
k
=
=
(x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
) + (z
1
− z
0
)(z
2
− z
0
)
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
+ (z
1
− z
0
)
2
·
p
(x
2
− x
0
)
2
+ (y
2
− y
0
)
2
+ (z
2
− z
0
)
2
,
(40)
где α — угол A
1
A
0
A
2
.
§10. Плоскость и трёхмерное пространство 53
Замечание. Если x1 = x2, то уравнением прямой, проходящей через точ-
ки A1 и A2 , является x = x1, а если y1 = y2, то y = y1 . Равенства x1 = x2
и y1 = y2 не могут выполняться одновременно, поскольку A1 и A2 — разные
точки.
Уравнение прямой на плоскости можно также задать в виде
ax + by + c = 0, (35)
где числа a и b одновременно не обращаются в нуль. При этом вектор v = (a, b)
ортогонален этой прямой, и поэтому уравнение прямой, перпендикулярной
прямой (35) и проходящей через точку A1(x1, y1), имеет вид
x − x1 y − y1
= . (36)
a b
Вводя новую переменную t ∈ R, уравнение (36) можно переписать в виде
x = at + x1 , y = bt + y1 , t ∈ R. (37)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а пере-
менная t — параметром. Вектор v = (a, b) называется направляющим векто-
ром прямой, задаваемой уравнением (37).
Случай n = 3 (трёхмерное пространство). В трёхмерном пространстве
координаты точек и векторов иногда принято обозначать через x (абсцисса), y
(ордината) и z (аппликата). Если A0(x0, y0, z0 ) и A1 (x1, y1, z1) — точки, то
величина
p
kvA0 A1 k = (x1 − x0)2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 (38)
совпадает с длиной отрезка A0A1. Если A2(x2, y2, z2 ) — третья точка, то ска-
лярное произведение между векторами vA0 A1 и vA0 A2 вычисляется по формуле
(vA0A1 , vA0A2 ) = (x1 − x0)(x2 − x0) + (y1 − y0)(y2 − y0 ) + (z1 − z0)(z2 − z0 ). (39)
Как и в случае плоскости, имеет место равенство
(vA0 A1 , vA0 A2 )
cos α = =
kvA0 A1 k · kvA0 A2 k
(x1 − x0)(x2 − x0) + (y1 − y0 )(y2 − y0 ) + (z1 − z0 )(z2 − z0 )
=p p ,
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 + (z1 − z0 )2 · (x2 − x0 )2 + (y2 − y0 )2 + (z2 − z0 )2
(40)
где α — угол A1 A0A2 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
