ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
54 §10. Плоскость и трёхмерное пространство
Обозначим через i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) и k = (0, 0, 1) стандартные ба-
зисные векторы трёхмерного пространства. Вектор
v
A
0
A
1
× v
A
0
A
2
=
i j k
x
1
− x
0
y
1
− y
0
z
1
− z
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
z
2
− z
0
(41)
называется векторным произведением
2
. Длина этого вектора есть удвоенная
площадь тр еугольника A
0
A
1
A
2
. Таким образом,
S
A
0
A
1
A
2
=
1
2
s
y
1
− y
0
z
1
− z
0
y
2
− y
0
z
2
− z
0
2
+
x
1
− x
0
z
1
− z
0
x
2
− x
0
z
2
− z
0
2
+
x
1
− x
0
y
1
− y
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
2
.
(42)
Пусть A
3
(x
3
, y
3
, z
3
) — ещё одна точка пространства. Величина
(v
A
0
A
1
× v
A
0
A
2
, v
A
0
A
2
) (43)
называется смешанным произведением векторов v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
и v
A
0
A
3
. Оно сле-
дующим образом с в язано с объёмом пирамиды A
0
A
1
A
2
A
3
:
V
A
0
A
1
A
2
A
3
=
1
6
|(v
A
0
A
1
× v
A
0
A
2
, v
A
0
A
2
)| =
1
6
det
x
1
− x
0
y
1
− y
0
z
1
− z
0
x
2
− x
0
y
2
− y
0
z
2
− z
0
x
3
− x
0
y
3
− y
0
z
3
− z
0
.
(44)
Пусть A(x, y, z) — произвольная т очка плоскости. Эта точка лежит на пря-
мой A
1
A
2
тогда и только тогда, когда точки A, A
1
и A
2
коллинеарны. Условие
коллинеарности записывается в виде
rank
x − x
1
y − y
1
z −z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
= 1. (45)
Значит,
x −x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
=
z −z
1
z
2
− z
1
(46)
— уравнение прямой, проходящ ей через точки A
1
и A
2
(см. также замечание
на с. 53).
Точка A лежит в плоскости A
1
A
2
A
3
тогда и только тогда, когда точки A,
A
1
, A
2
и A
3
компланарны. Условие компланарности записывается в виде
rank
x − x
1
y − y
1
z −z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
= 2 ⇔
x −x
1
y − y
1
z −z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
= 0. (47)
2
Определитель в правой части равенства (41) является сокращённым обозначением вектора,
получаемого разложением по первой строке:
y
1
−y
0
z
1
−z
0
y
2
−y
0
z
2
−z
0
· i −
x
1
−x
0
z
1
−z
0
x
2
−x
0
z
2
−z
0
· j +
x
1
−x
0
y
1
−y
0
x
2
−x
0
y
2
−y
0
· k.
Такие обозначения часто используются в математике и, в особенности, в физике.
54 §10. Плоскость и трёхмерное пространство
Обозначим через i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) и k = (0, 0, 1) стандартные ба-
зисные векторы трёхмерного пространства. Вектор
i j k
vA0 A1 × vA0 A2 = x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 (41)
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0
называется векторным произведением 2. Длина этого вектора есть удвоенная
площадь треугольника A0A1 A2. Таким образом,
s
2 2 2
1 y1 − y0 z1 − z0 x1 − x0 z1 − z0 x1 − x0 y1 − y0
SA0 A1 A2 = + + .
2 y2 − y0 z2 − z0 x2 − x0 z2 − z0 x2 − x0 y2 − y0
(42)
Пусть A3(x3, y3, z3) — ещё одна точка пространства. Величина
(vA0A1 × vA0 A2 , vA0 A2 ) (43)
называется смешанным произведением векторов vA0 A1 , vA0 A2 и vA0 A3 . Оно сле-
дующим образом связано с объёмом пирамиды A0 A1A2A3 :
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
1 1
VA0 A1 A2 A3 = |(vA0 A1 × vA0 A2 , vA0 A2 )| = det x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 .
6 6 x −x y −y z −z
3 0 3 0 3 0
(44)
Пусть A(x, y, z) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на пря-
мой A1A2 тогда и только тогда, когда точки A, A1 и A2 коллинеарны. Условие
коллинеарности записывается в виде
x − x1 y − y1 z − z1
rank = 1. (45)
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Значит,
x − x1 y − y1 z − z1
= = (46)
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
— уравнение прямой, проходящей через точки A1 и A2 (см. также замечание
на с. 53).
Точка A лежит в плоскости A1A2 A3 тогда и только тогда, когда точки A,
A1, A2 и A3 компланарны. Условие компланарности записывается в виде
x − x1 y − y1 z − z1 x − x1 y − y1 z − z1
rank x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 2 ⇔ x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. (47)
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
2Определитель в правой части равенства (41) является сокращённым обозначением вектора,
получаемого разложением по первой строке: yy12 −y 0 z1 −z0 x1 −x0 z1 −z0
−y0 z2 −z0 · i − x2 −x0 z2 −z0 · j +
x1 −x0 y1 −y0
x2 −x0 y2 −y0 · k.
Такие обозначения часто используются в математике и, в особенности, в физике.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
