Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56 §11. Образцы решения задач
= 6 − 1 + 6 + 1 + 0 = 12,
w
3
=
5
X
i=1
a
3i
v
i
= 2 · 3 + 2 · (−1) + 1 ·2 + 1 · 1 + 3 · 0 =
= 6 − 2 + 2 + 1 + 0 = 7.
Ответ: w = (3, 12, 7).
Задача 2. Вычислить произведение и коммутатор матриц A =
2 2 1
2 3 0
1 3 1
и B =
1 2 1
0 1 1
1 1 3
.
Решение. Имеем
A ◦ B =
2 2 1
2 3 0
1 3 1
◦
1 2 1
0 1 1
1 1 3
=
=
2 · 1 + 2 · 0 + 1 · 1 2 · 2 + 2 · 1 + 1 · 1 2 · 1 + 2 · 1 + 1 · 3
2 · 1 + 3 · 0 + 0 · 1 2 · 2 + 3 · 1 + 0 · 1 2 · 1 + 3 · 1 + 0 · 3
1 · 1 + 3 · 0 + 1 · 1 1 · 2 + 3 · 1 + 1 · 1 1 · 1 + 3 · 1 + 1 · 3
=
=
2 + 0 + 1 4 + 2 + 1 2 + 2 + 3
2 + 3 + 0 4 + 3 + 0 2 + 3 + 0
1 + 0 + 1 2 + 3 + 1 1 + 3 + 3
=
3 7 7
5 7 5
2 6 7
.
Аналогично,
B ◦ A =
1 2 1
0 1 1
1 1 3
◦
2 2 1
2 3 0
1 3 1
=
7 11 2
3 6 1
7 14 4
.
Поэтому
[A, B] = A ◦ B − B ◦ A =
3 7 7
5 7 5
2 6 7
−
7 11 2
3 6 1
7 14 4
=
=
3 − 7 7 − 11 7 − 2
5 − 3 7 − 6 5 − 1
2 − 7 6 − 14 7 − 4
=
−4 −4 5
2 1 4
−5 −8 3
.
Ответ: A ◦ B =
3 7 7
5 7 5
2 6 7
, [A, B] =
−4 −4 5
2 1 4
−5 −8 3
.
Задача 3. Вычислить опреде лите ли матриц A =
1 2 1
1 1 3
0 1 1
и B =
1 2 3 1
2 0 1 1
1 0 0 1
2 2 1 1
.
56                                                                §11. Образцы решения задач

                                   = 6 − 1 + 6 + 1 + 0 = 12,
                       5
                       X
                w3 =         a3ivi = 2 · 3 + 2 · (−1) + 1 · 2 + 1 · 1 + 3 · 0 =
                       i=1
                                   = 6 − 2 + 2 + 1 + 0 = 7.
                                                                                                               
     Ответ: w = (3, 12, 7).
                                                                                                              
                                                                                                       221
 Задача 2. Вычислить произведение и коммутатор матриц A =                                              230
                                                                                                     131
      121
иB= 011 .
          113
  Решение. Имеем
                             
           2 2 1         1 2 1
 A ◦ B = 2 3 0 ◦ 0 1 1 =
           1 3 1         1 1 3
                                                                         
          2·1+2·0+1·1 2·2+2·1+1·1 2·1+2·1+1·3
      = 2 · 1 + 3 · 0 + 0 · 1 2 · 2 + 3 · 1 + 0 · 1 2 · 1 + 3 · 1 + 0 · 3 =
          1·1+3·0+1·1 1·2+3·1+1·1 1·1+3·1+1·3
                                                                                                  
                              2+0+1 4+2+1 2+2+3                           3 7                      7
                         = 2+3+0 4+3+0 2+3+0 = 5 7
                                                                                                5 .
                              1+0+1 2+3+1 1+3+3                           2 6                      7
Аналогично,
                                                 
                           1 2 1     2 2 1     7 11 2
                  B ◦ A = 0 1 1 ◦ 2 3 0 = 3 6 1 .
                           1 1 3     1 3 1     7 14 4
Поэтому
                                           
                           3 7 7       7 11 2
 [A, B] = A ◦ B − B ◦ A = 5 7 5 − 3 6 1 =
                           2 6 7       7 14 4
                                                            
                                 3 − 7 7 − 11 7 − 2    −4 −4 5
                             = 5 − 3 7 − 6 5 − 1 =  2 1 4 .
                                 2 − 7 6 − 14 7 − 4    −5 −8 3
                                                   −4 −4 5                                                 
                             377
     Ответ: A ◦ B =          575       , [A, B] =      2 1 4      .
                             267                      −5 −8 3
                                                                                                            
                                                                           121                 1   2   3   1
     Задача 3. Вычислить определители матриц A =                           113       иB=       2   0   1   1       .
                                                                           011                 1   0   0   1
                                                                                               2   2   1   1

Страницы