Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. Образцы решения задач 57
Решение. Разложим первый определитель по первому столбцу:
|A| =
1 2 1
1 1 3
0 1 1
= 1 ·
1 3
1 1
− 1 ·
2 1
1 1
+ 0 ·
2 1
1 3
=
= (1 · 1 − 3 · 1) − (2 · 1 − 1 · 1) = −3.
Второй определитель удобно разложить по третьей строке:
|B| =
1 2 3 1
2 0 1 1
1 0 0 1
2 2 1 1
= 1 ·
2 3 1
0 1 1
2 1 1
− 0 ·
1 3 1
2 1 1
2 1 1
+ 0 ·
1 2 1
2 0 1
2 2 1
− 1 ·
1 2 3
2 0 1
2 2 1
=
=
2 ·
1 1
1 1
+ 2 ·
3 1
2 1
−
−2 ·
2 3
2 1
− 1 ·
1 2
2 2
= −8.
Ответ: |A| = −3, |B| = −8.
Задача 4. Найти матрицу, обратную к матрице A =
1 2 1
1 1 3
0 1 1
.
Решение. Матрица, составленная из миноров, дополнительных к элемен-
там матрицы A, имеет вид
M =
1 3
1 1
1 3
0 1
1 1
0 1
2 1
1 1
1 1
0 1
1 2
0 1
2 1
1 3
1 1
1 3
1 2
1 1
=
−2 1 1
1 1 1
5 2 −1
.
Тогда
¯
M =
−2 · (−1)
1+1
1 · (−1)
1+2
1 · (−1)
1+3
1 · (−1)
2+1
1 · (−1)
2+2
1 · (−1)
2+3
5 · (−1)
3+1
2 · (−1)
3+2
−1 · (−1)
3+3
=
−2 −1 1
−1 1 −1
5 −2 −1
— матрица, составленная из алгебраических дополнений, а
¯
M
∗
=
−2 −1 5
−1 1 −2
1 −1 −1
§11. Образцы решения задач                                             57

  Решение. Разложим первый определитель по первому столбцу:

       1 2 1
                   1 3     2 1      2 1
 |A| = 1 1 3 = 1 ·     −1·     +0·        =
                   1 1     1 1      1 3
       0 1 1
                               = (1 · 1 − 3 · 1) − (2 · 1 − 1 · 1) = −3.
Второй определитель удобно разложить по третьей строке:

       1   2   3   1
                           2 3 1     1 3 1       1 2 1     1 2 3
       2   0   1   1
 |B| =               =1·   0 1 1 −0· 2 1 1 +0·   2 0 1 −1· 2 0 1 =
       1   0   0   1
                           2 1 1     2 1 1       2 2 1     2 2 1
       2   2   1   1
                                                          
                           1 1     3 1           2 3     1 2
                    = 2·       +2·      − −2 ·       −1·       = −8.
                           1 1     2 1           2 1     2 2
                                                                       
  Ответ: |A| = −3, |B| = −8.
                                                               
                                                          121
  Задача 4. Найти матрицу, обратную к матрице A =         113    .
                                                          011

   Решение. Матрица, составленная   из миноров, дополнительных к элемен-
там матрицы A, имеет вид
                                       
                     1 3 1 3        1 1
                  1 1 0 1          0 1         
                                       
                                         −2 1 1
                  2 1 1 1          1 2 
             M =                       = 1 1 1 .
                  1 1 0 1          0 1
                                         5 2 −1
                  2 1 1 1          1 2 
                     1 3 1 3        1 1
Тогда
                                                          
           −2 · (−1)1+1 1 · (−1)1+2 1 · (−1)1+3      −2 −1 1
     M̄ =  1 · (−1)2+1 1 · (−1)2+2 1 · (−1)2+3  = −1 1 −1
            5 · (−1)3+1 2 · (−1)3+2 −1 · (−1)3+3     5 −2 −1
— матрица, составленная из алгебраических дополнений, а
                                           
                                 −2 −1 5
                         M̄ ∗ = −1 1 −2
                                  1 −1 −1

Страницы