Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. Образцы решения задач 59
Задача 6. Решить систему уравнений
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 18,
2x
1
+ x
3
+ x
4
= 9,
x
1
+ x
4
= 5,
2x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 13
методом Гаусса.
Решение. Составим расширенную м а трицу этой систем ы:
1 2 3 1
2 0 1 1
1 0 0 1
2 2 1 1
18
9
5
13
.
Вычтем из третьей строки первую, а также, умножив первую строку на 2,
вычтем её из второй и четв ёртой:
1 2 3 1
0 −4 −5 −1
0 −2 −3 0
0 −2 −5 −1
18
−27
−13
−23
.
Вычтем теперь первую строку из четвёртой и её же, умноженную на 2, из
второй:
1 2 3 1
0 0 1 −1
0 −2 −3 0
0 0 −2 −1
18
−1
−13
−10
∼
1 2 3 1
0 −2 −3 0
0 0 1 −1
0 0 −2 −1
18
−13
−1
−10
(правая матрица получена из левой перестановкой второй и третьей строк).
Наконец, прибавим к последней строке т ре т ь ю, умноженную на 2:
1 2 3 1
0 −2 −3 0
0 0 1 −1
0 0 0 −3
18
−13
−1
−12.
. (54)
Это завершает первый этап решения с истемы.
Второй этап. По следняя строка матрицы (54) означает, что −3x
4
= −12,
т.е. x
4
= 4. Тогда из предпоследней строки следует, что
x
3
− x
4
= x
3
− 4 = −1,
т.е. x
3
= 3. В т орая строка влечёт за собой равенство
−2x
2
− 3x
3
+ 0 · x
4
= −2x
2
− 9 = −13.
§11. Образцы решения задач                                           59

  Задача 6. Решить систему уравнений
                    
                    
                     x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 18,
                    
                    2x + x + x = 9,
                         1   3     4
                    
                     x1 + x4 = 5,
                    
                    
                      2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 13
методом Гаусса.
  Решение. Составим расширенную матрицу этой системы:
                                     
                           1 2 3 1 18
                         2 0 1 1 9 
                         1 0 0 1 5  .
                                     

                           2 2 1 1 13
Вычтем из третьей строки первую, а также, умножив первую строку на 2,
вычтем её из второй и четвёртой:
                                          
                           1 2 3 1 18
                         0 −4 −5 −1 −27
                         0 −2 −3 0 −13 .
                                          

                           0 −2 −5 −1 −23
Вычтем теперь первую строку из четвёртой и её же, умноженную на 2, из
второй:                                               
              1 2 3 1 18               1 2 3 1 18
            0 0 1 −1 −1  0 −2 −3 0 −13
            0 −2 −3 0 −13 ∼ 0 0 1 −1 −1 
                                                      

              0 0 −2 −1 −10            0 0 −2 −1 −10
(правая матрица получена из левой перестановкой второй и третьей строк).
Наконец, прибавим к последней строке третью, умноженную на 2:
                                            
                         1 2 3 1 18
                       0 −2 −3 0 −13 
                       0 0 1 −1 −1  .                             (54)
                                            

                         0 0 0 −3 −12.
Это завершает первый этап решения системы.
    Второй этап. Последняя строка матрицы (54) означает, что −3x4 = −12,
т.е. x4 = 4. Тогда из предпоследней строки следует, что
                          x3 − x4 = x3 − 4 = −1,
т.е. x3 = 3. Вторая строка влечёт за собой равенство
                   −2x2 − 3x3 + 0 · x4 = −2x2 − 9 = −13.

Страницы