Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. Образцы решения задач 61
В оставшихся задачах рассматриваются четыре точки
A
0
(1, 3, 1), A
1
(2, 5, 2), A
2
(3, 5, 7), A
3
(1, 5, 3) (55)
трёхмерного пространства R
3
.
Задача 9. Доказать, что система точек (55) не компланарна и вычислить
объём пирамиды с вершинами A
0
, A
1
, A
2
, A
3
.
Решение. Рассмотрим направленные отрезки A
0
A
1
, A
0
A
2
, A
0
A
3
и соответ-
ствующие векторы v
1
= (2, 5, 2) − (1, 3, 1) = (1, 3, 1), v
2
= (3, 5, 7) − (1, 3, 1) =
= (2, 2, 6), v
3
= (1, 5, 3) − (1, 3, 1) = (0, 2, 2). Компланарность точек экви-
валентна равенству нулю определителя ∆, составленного из координат этих
векторов. Имеем
∆ =
1 3 1
2 2 6
0 2 2
= −12 6= 0.
Следовательно, точки не яв ля ются компланарными.
Объём V рассматриваемой пирамиды равен
1
6
|(v
1
× v
2
, v
3
)|, т.е. V =
1
6
|∆|.
Таким образом, V = 2 (кубических единиц).
Ответ: точки не компланарны, V = 2.
Задача 10. Найти уравнение и длину l ребра A
0
A
1
.
Решение. Эти вершины соединены вектором v
1
из задачи 9. Поэ то м у ис-
комая длина есть
|v
1
| =
p
1
2
+ 3
2
+ 1
2
=
√
11.
Этот же вектор я в ля ется направляющим вектором прямой, содержащей рас-
сматриваемое ребро, и поэтому её параметрическое уравнение имеет вид
x = 1 + t,
y = 3 + 3t,
z = 1 + t.
Исключая параметр t, получаем уравнение той же прямой в другой форме
x − 1
1
=
y − 1
1
=
y − 3
3
.
Ответ: l =
√
11 (линейных единиц),
x−1
1
=
y−1
1
=
y−3
3
.
Задача 11. Найти уравнение и площадь S грани A
0
A
1
A
2
.
§11. Образцы решения задач                                                        61

   В оставшихся задачах рассматриваются четыре точки
                    A0(1, 3, 1), A1 (2, 5, 2), A2 (3, 5, 7), A3(1, 5, 3)        (55)
трёхмерного пространства R3 .
  Задача 9. Доказать, что система точек (55) не компланарна и вычислить
объём пирамиды с вершинами A0, A1, A2, A3.
   Решение. Рассмотрим направленные отрезки A0A1 , A0 A2, A0A3 и соответ-
ствующие векторы v1 = (2, 5, 2) − (1, 3, 1) = (1, 3, 1), v2 = (3, 5, 7) − (1, 3, 1) =
= (2, 2, 6), v3 = (1, 5, 3) − (1, 3, 1) = (0, 2, 2). Компланарность точек экви-
валентна равенству нулю определителя ∆, составленного из координат этих
векторов. Имеем
                                   1 3 1
                            ∆ = 2 2 6 = −12 6= 0.
                                   0 2 2
Следовательно, точки не являются компланарными.
  Объём V рассматриваемой пирамиды равен 61 |(v1 × v2 , v3)|, т.е. V = 16 |∆|.
Таким образом, V = 2 (кубических единиц).                                   
  Ответ: точки не компланарны, V = 2.
   Задача 10. Найти уравнение и длину l ребра A0A1 .
  Решение. Эти вершины соединены вектором v1 из задачи 9. Поэтому ис-
комая длина есть
                           p             √
                             2   2    2
                     |v1| = 1 + 3 + 1 = 11.
Этот же вектор является направляющим вектором прямой, содержащей рас-
сматриваемое ребро, и поэтому её параметрическое уравнение имеет вид
                             
                             x = 1 + t,
                             
                               y = 3 + 3t,
                             
                             
                               z = 1 + t.
Исключая параметр t, получаем уравнение той же прямой в другой форме
                                x−1 y−1 y−3
                                   =   =    .
                                 1   1   3
                √                                                                  
                                               x−1       y−1       y−3
   Ответ: l =       11 (линейных единиц),       1    =    1    =    3 .

   Задача 11. Найти уравнение и площадь S грани A0A1A2 .

Страницы