Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

60 §11. Образцы решения задач
Значит, x
2
= 2. Наконец, из первой строки получаем
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
= x
1
+ 4 + 9 + 4 = 18,
т.е. x
1
= 1.
Ответ: x
1
= 1, x
2
= 2, x
3
= 3, x
4
= 4.
Задача 7. Найти характеристический многочлен матрицы A =
1 2 1
1 1 3
0 1 1
.
Решение. По определению характеристического многочлена матрицы A
имеем
χ
A
(λ) =
1 − λ 2 1
1 1 − λ 3
0 1 1 − λ
=
= (1 −λ)[(1 − λ)(1 − λ) − 1 · 3] − 1 · [2(1 − λ) −1 · 1] = −3 − 3λ + 3λ
2
−λ
3
.
Ответ: χ
A
(λ) = −3 − 3λ + 3λ
2
− λ
3
.
Задача 8. Найти соб ственные значения и собственные векторы м а т ри-
цы A = (
10 4
4 7
) и представить матрицу A в базисе из собственных векторов.
Решение. Характеристический многочлен имеет вид
χ
A
(λ) =
10 − λ 2
2 7 − λ
= λ
2
− 17λ + 64.
Чтобы найти собственные значения, решим уравнение
χ
A
(λ) = λ
2
− 17λ + 64 = 0.
Имеем
λ
1,2
=
17 ±
√
17
2
− 4 · 64
2
=
17 ± 5
2
, λ
1
= 11, λ
2
= 6.
Чтобы найти собственные векторы v
1
= (x
1
, y
1
) и v
2
= (x
2
, y
2
), соответствую-
щие этим собственным значениям, необходимо реш ить две системы уравнений
(
10x
1
+ 2y
1
= 11x
1
,
2x
1
+ 7y
1
= 11y
1
,
(
10x
2
+ 2y
2
= 6x
2
,
2x
2
+ 7y
2
= 6y
2
.
Из первой следует, что x
1
= 2y
1
, а из второй —y
2
= −2x
2
. Таким образом,
в качестве собственных векторов можно выбрать v
1
= (2, 1) и v
2
= (1, −2).
Поскольку Av
1
= 11v
1
, Av
2
= 6v
2
, в базисе (v
1
, v
2
) матрица A з а писывается в
виде (
11 0
0 6
) .
Ответ: λ
1
= 11, λ
2
= 6, v
1
= (2, 1), v
2
= (1, −2), (
11 0
0 6
).
60                                                 §11. Образцы решения задач

Значит, x2 = 2. Наконец, из первой строки получаем
                      x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = x1 + 4 + 9 + 4 = 18,
т.е. x1 = 1.                                                                       
    Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4.
                                                                                 
                                                                            121
     Задача 7. Найти характеристический многочлен матрицы A =               113    .
                                                                            011
  Решение. По определению характеристического многочлена матрицы A
имеем
          1−λ  2   1
 χA (λ) =  1  1−λ  3  =
           0   1  1−λ
= (1 − λ)[(1 − λ)(1 − λ) − 1 · 3] − 1 · [2(1 − λ) − 1 · 1] = −3 − 3λ + 3λ2 − λ3 .
                                                                                   
                                     2    3
     Ответ: χA (λ) = −3 − 3λ + 3λ − λ .
  Задача 8. Найти собственные значения и собственные векторы матри-
цы A = ( 10 4
         4 7 ) и представить матрицу A в базисе из собственных векторов.

     Решение. Характеристический многочлен имеет вид
                                 10 − λ  2
                      χA (λ) =              = λ2 − 17λ + 64.
                                    2   7−λ
Чтобы найти собственные значения, решим уравнение
                             χA (λ) = λ2 − 17λ + 64 = 0.
Имеем                        √
                        172 − 4 · 64 17 ± 5
                      17 ±
             λ1,2 =                 =       , λ1 = 11, λ2 = 6.
                          2             2
Чтобы найти собственные векторы v1 = (x1, y1) и v2 = (x2, y2 ), соответствую-
щие этим собственным значениям, необходимо решить две системы уравнений
             (                         (
               10x1 + 2y1 = 11x1,         10x2 + 2y2 = 6x2,
               2x1 + 7y1 = 11y1,          2x2 + 7y2 = 6y2 .
Из первой следует, что x1 = 2y1 , а из второй —y2 = −2x2. Таким образом,
в качестве собственных векторов можно выбрать v1 = (2, 1) и v2 = (1, −2).
Поскольку Av1 = 11v1, Av2 = 6v2, в базисе (v1, v2) матрица A записывается в
виде ( 11 0
       0 6).                                                             
   Ответ: λ1 = 11, λ2 = 6, v1 = (2, 1), v2 = (1, −2), ( 11 0
                                                        0 6 ).

Страницы