Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

62 Вопросы для самопроверки
Решение. Начнём с вычисления векторного произведения векторов v
1
и v
2
,
соединяющих точку A
0
с точками A
1
и A
2
соответственно. Имеем
v
1
× v
2
=
i j k
2 2 6
0 2 2
=
2 6
2 2
, −
2 6
0 2
,
2 2
0 2
= (−8, −4, 4).
Тогда площадь грани вычисляется по формуле
S =
1
2
|v
1
× v
2
| =
1
2
p
(−8)
2
+ (−4)
2
+ 4
2
= 4
√
6.
Уравнение грани находится из условия (v, v
1
× v
2
) = 0, где v = (x − 1, y −
− 3, z −1), т.е. име ет вид
2x + y −z = 4.
Ответ: S = 4
√
6 (квадратных единиц), 2x + y − z = 4.
Задача 12. Вычислить угол α между рёбрами A
0
A
1
и A
0
A
3
.
Решение. Поскольку (v
1
, v
3
) = |v
1
| · |v
3
|cos α, получаем
cos α =
(v
1
, v
3
)
|v
1
| · |v
3
|
=
1 · 0 + 3 ·2 + 1 · 2
√
1
2
+ 3
2
+ 1
2
·
√
0
2
+ 2
2
+ 2
2
=
r
8
11
≈ 0, 85.
Поэтому α = arccos 0, 85 ≈ 35
◦
.
Ответ: α ≈ 35
◦
.
Задача 13. Определить длину высоты h пирамиды, опущенной из верши-
ны A
3
на грань A
0
A
1
A
2
.
Решение. Поскольку V =
1
3
S
A
0
A
1
A
2
h, из задач 9 и 11 получаем
h =
3V
S
=
3 · 2
4
√
6
=
√
6
4
.
Ответ: h =
√
6
4
(линейных е диниц).
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение векторного пространства .
2. Что такое арифметическое пространство?
3. Дайте определение линейного опе ратора.
4. Что такое ядро и образ линейного оператора?
5. Какой линейный оператор называет ся изоморфизмом?
62                                                  Вопросы для самопроверки

   Решение. Начнём с вычисления векторного произведения векторов v1 и v2,
соединяющих точку A0 с точками A1 и A2 соответственно. Имеем
                  i j k                        
                             2 6     2 6 2 2
        v1 × v2 = 2 2 6 =         ,−      ,       = (−8, −4, 4).
                             2 2     0 2 0 2
                  0 2 2
Тогда площадь грани вычисляется по формуле
                      1          1p                     √
                 S = |v1 × v2| =         2      2  2
                                    (−8) + (−4) + 4 = 4 6.
                      2          2
Уравнение грани находится из условия (v, v1 × v2) = 0, где v = (x − 1, y −
− 3, z − 1), т.е. имеет вид
                                2x + y − z = 4.
                 √                                                         
     Ответ: S = 4 6 (квадратных единиц), 2x + y − z = 4.
     Задача 12. Вычислить угол α между рёбрами A0 A1 и A0 A3.
  Решение. Поскольку (v1, v3) = |v1| · |v3| cos α, получаем
                                                           r
              (v1, v3)          1·0+3·2+1·2                  8
     cos α =             =√               √              =      ≈ 0, 85.
             |v1| · |v3|   12 + 32 + 12 · 02 + 22 + 22       11
Поэтому α = arccos 0, 85 ≈ 35◦.                                            
  Ответ: α ≈ 35◦.
  Задача 13. Определить длину высоты h пирамиды, опущенной из верши-
ны A3 на грань A0 A1A2 .
     Решение. Поскольку V = 31 SA0 A1 A2 h, из задач 9 и 11 получаем
                                                  √
                                3V        3·2       6
                          h=          = √ =           .
                                 S        4 6      4
                  √                                                        
                    6
     Ответ: h =    4    (линейных единиц).


Вопросы для самопроверки
      1.   Дайте определение векторного пространства.
      2.   Что такое арифметическое пространство?
      3.   Дайте определение линейного оператора.
      4.   Что такое ядро и образ линейного оператора?
      5.   Какой линейный оператор называется изоморфизмом?

Страницы