Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58 §11. Образцы решения задач
— транспонированная к ней. Поскольку определитель матрицы A равен −3
(задача 3), обратная матрица имеет вид
A
−1
=
1
|A|
¯
M
∗
=
2
3
1
3
−
5
3
1
3
−
1
3
2
3
−
1
3
1
3
1
3
.
Сделаем проверку:
A ◦ A
−1
=
1 2 1
1 1 3
0 1 1
◦
2
3
1
3
−
5
3
1
3
−
1
3
2
3
−
1
3
1
3
1
3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
и
A
−1
◦ A =
2
3
1
3
−
5
3
1
3
−
1
3
2
3
−
1
3
1
3
1
3
◦
1 2 1
1 1 3
0 1 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Значит, обратная матрица вычислена правильно.
Ответ: A
−1
=
2
3
1
3
−
5
3
1
3
−
1
3
2
3
−
1
3
1
3
1
3
!
.
Задача 5. Решить систему уравнений
x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 8,
x
1
+ x
2
+ 3x
3
= 12,
x
2
+ x
3
= 5
методом Крамера.
Решение. Имеем
∆
1
=
8 2 1
12 1 3
5 1 1
= −3, ∆
2
=
1 8 1
1 12 3
0 5 1
= −6, ∆
3
=
1 2 8
1 1 12
0 1 15
= −9.
Матрица рассматриваемой с ис т емы совпадает с матрицей A из задачи 3. По-
этому ∆ = 3 и
x
1
=
∆
1
∆
= 1, x
2
=
∆
2
∆
= 2, x
3
=
∆
3
∆
= 3.
Ответ: x
1
= 1, x
2
= 2, x
3
= 3.
58                                                                        §11. Образцы решения задач

— транспонированная к ней. Поскольку определитель матрицы A равен −3
(задача 3), обратная матрица имеет вид
                                                     
                                        2    1      5
                                        3    3   −  3
                       −1   1    ∗   1        1  2 
                     A =       M̄ =  3     −  3  3 .
                           |A|            1  1    1
                                       −3 3       3

Сделаем проверку:
                                     2     1      5
                                                             
                               1 2 1       3   3  −  3    1 0 0
              A ◦ A−1       = 1 1 3 ◦  31 − 13 32  = 0 1 0
                                                      
                               0 1 1     − 13 13   1      0 0 1
                                                   3
и                                                               
                                          2        1                              
                                          3        3     − 53       1 2 1     1 0 0
             A−1 ◦ A =      − 13         1               2
                                                                
                                          3               3      ◦ 1 1 3 = 0 1 0 .
                        − 31 13                           1         0 1 1     0 0 1
                                                          3
Значит, обратная матрица вычислена
                           !       правильно.                                                     
                   2  1
                        −5   3      3          3
                −1
     Ответ: A        =       1
                             3     − 31       2
                                              3    .
                            − 31    1
                                    3
                                              1
                                              3

     Задача 5. Решить систему уравнений
                          
                          x1 + 2x2 + x3 = 8,
                          
                            x1 + x2 + 3x3 = 12,
                          
                          x + x = 5
                             2    3

методом Крамера.
     Решение. Имеем
           8 2 1             1 8 1             1 2 8
      ∆1 = 12 1 3 = −3, ∆2 = 1 12 3 = −6, ∆3 = 1 1 12 = −9.
           5 1 1             0 5 1             0 1 15
Матрица рассматриваемой системы совпадает с матрицей A из задачи 3. По-
этому ∆ = 3 и
                             ∆1                                 ∆2               ∆3
                     x1 =       = 1,                   x2 =        = 2,   x3 =      = 3.
                             ∆                                  ∆                ∆
                                                                                                  
     Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Страницы