Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. Образцы решения задач 55
Значит, уравнение плоскости, проходящей через точки A
1
, A
2
и A
3
, имеет вид
y
2
− y
1
z
2
− z
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
(x − x
1
) −
x
2
− x
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
z
3
− z
1
(y − y
1
)+
+
x
2
− x
1
y
2
− y
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
(z − z
1
) = 0. (48)
Уравнения произвольной прямой в пространстве можно также записать в
виде
x −α
1
α
=
y −β
1
β
=
z − γ
1
γ
, (49)
а плоскости — в виде
ax + by + cz + d = 0, (50)
где v = (α, β, γ) 6= 0 —направляющий вектор прямой, а n = (a, b, c) 6= 0 —
вектор нормали к плоскости. Поэтому уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку (x
1
, y
1
, z
1
) и перпендикулярной к прямой (49), имеет вид
α(x − x
1
) + β(y − y
1
) + γ(z −z
1
) = 0, (51)
а прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной плоскости (50) —
вид
x − x
1
a
=
y − y
1
b
=
z − z
1
c
. (52)
Как и в случае прямой на плоскости, уравнения (52) можно переписать в
параметрической форме:
x = at + x
1
, y = bt + y
1
, z = ct + z
1
, t ∈ R, (53)
где t — параметр.
§11. Образцы решения задач
Задача 1. Вычислить результат действия матрицы A =
1 2 1 0 1
2 1 3 1 0
2 2 1 1 3
на век-
тор v = (3, −1, 2, 1 , 0).
Решение. Пусть w = Av и w = (w
1
, w
2
, w
3
). Тогда
w
1
=
5
X
i=1
a
1i
v
i
= 1 · 3 + 2 · (−1) + 1 · 2 + 0 · 1 + 1 · 0 =
= 3 − 2 + 2 + 0 + 0 = 3,
w
2
=
5
X
i=1
a
2i
v
i
= 2 · 3 + 1 · (−1) + 3 · 2 + 1 · 1 + 0 · 0 =
§11. Образцы решения задач                                                                 55

Значит, уравнение плоскости, проходящей через точки A1, A2 и A3 , имеет вид
  y2 − y1 z2 − z1            x − x1 z2 − z1
                  (x − x1 ) − 2              (y − y1)+
  y3 − y1 z3 − z1            x3 − x1 z3 − z1
                                                      x2 − x1 y2 − y1
                                                 +                    (z − z1 ) = 0. (48)
                                                      x3 − x1 y3 − y1
   Уравнения произвольной прямой в пространстве можно также записать в
виде
                             x − α1   y − β1    z − γ1
                                    =        =         ,               (49)
                               α        β         γ
а плоскости — в виде
                               ax + by + cz + d = 0,                   (50)
где v = (α, β, γ) 6= 0 —направляющий вектор прямой, а n = (a, b, c) 6= 0 —
вектор нормали к плоскости. Поэтому уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку (x1, y1, z1 ) и перпендикулярной к прямой (49), имеет вид
                      α(x − x1) + β(y − y1 ) + γ(z − z1 ) = 0,                            (51)
а прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной плоскости (50) —
вид
                        x − x1   y − y1   z − z1
                               =        =        .                  (52)
                          a         b        c
Как и в случае прямой на плоскости, уравнения (52) можно переписать в
параметрической форме:
             x = at + x1 ,       y = bt + y1 ,       z = ct + z1 ,   t ∈ R,               (53)
где t — параметр.


§11. Образцы решения задач
                                                                                  
                                                                           12101
   Задача 1. Вычислить результат действия матрицы A =                      21310       на век-
                                                                           22113
тор v = (3, −1, 2, 1, 0).
  Решение. Пусть w = Av и w = (w1, w2, w3). Тогда
                  5
                  X
           w1 =           a1ivi = 1 · 3 + 2 · (−1) + 1 · 2 + 0 · 1 + 1 · 0 =
                    i=1
                               = 3 − 2 + 2 + 0 + 0 = 3,
                  5
                  X
           w2 =           a2ivi = 2 · 3 + 1 · (−1) + 3 · 2 + 1 · 1 + 0 · 0 =
                    i=1

Страницы