Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 §10. Плоскость и трёхмерное пространство
Базис e
1
, . . . , e
n
пространства R
n
называется ортонормированным, если
(e
i
, e
j
) =
(
1, при i = j,
0, при i 6= j.
В частнос т и, стандартный б а зис, описанный в примере 7, является ортонор-
мированным. Ортонормированные базисы называют также реперами, а их
элементы — ортами.
Случай n = 2 (плоскость). На плоскости R
2
координаты точек и векторов
иногда принято обозначать через x (абсцисса) и y (ордината). Если A
0
(x
0
, y
0
)
и A
1
(x
1
, y
1
) — точки, то величина
kv
A
0
A
1
k =
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
(30)
совпадает с длиной отрезка A
0
A
1
. Если A
2
(x
2
, y
2
) — третья т о чка, то скаляр-
ное произведение между векторами v
A
0
A
1
и v
A
0
A
2
вычисляется по формуле
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
) = (x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
). (31)
С помощью скалярного произведения можно вычислить угол меж ду вектора-
ми:
cos α =
(v
A
0
A
1
, v
A
0
A
2
)
kv
A
0
A
1
k · kv
A
0
A
2
k
=
=
(x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
) + (y
1
− y
0
)(y
2
− y
0
)
p
(x
1
− x
0
)
2
+ (y
1
− y
0
)
2
·
p
(x
2
− x
0
)
2
+ (y
2
− y
0
)
2
, (32)
где α — угол A
1
A
0
A
2
. Если через S
A
0
A
1
A
2
обозначить площадь тр еугольни-
ка A
0
A
1
A
2
, то имеет мест о равенство
S
A
0
A
1
A
2
=
1
2
|(x
1
− x
0
)(y
2
− y
0
) − (x
2
− x
0
)(y
1
− y
0
)|. (33)
Пусть заданы две несовпадающие т о чки A
1
(x
1
, y
1
) и A
2
(x
2
, y
2
) и A(x, y) —
произвольная точка плоскост и. Эта точка лежит на прямой A
1
A
2
тогда и
только тогда, когда точки A, A
1
и A
2
коллинеарны. Условие коллинеарности
записывается в виде
x − x
1
y − y
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
= 0,
или
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
. (34)
Таким образ о м , уравнение (34) — это уравнение прямой, проходящей через
точки A
1
(x
1
, y
1
) и A
2
(x
2
, y
2
).
52                                   §10. Плоскость и трёхмерное пространство

     Базис e1 , . . . , en пространства Rn называется ортонормированным, если
                                              (
                                                1, при i = j,
                                 (ei , ej ) =
                                                0, при i 6= j.
В частности, стандартный базис, описанный в примере 7, является ортонор-
мированным. Ортонормированные базисы называют также реперами, а их
элементы — ортами.
Случай n = 2 (плоскость). На плоскости R2 координаты точек и векторов
иногда принято обозначать через x (абсцисса) и y (ордината). Если A0(x0, y0)
и A1(x1, y1) — точки, то величина
                                 p
                      kvA0 A1 k = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2            (30)
совпадает с длиной отрезка A0A1 . Если A2(x2, y2) — третья точка, то скаляр-
ное произведение между векторами vA0 A1 и vA0 A2 вычисляется по формуле
              (vA0A1 , vA0A2 ) = (x1 − x0)(x2 − x0 ) + (y1 − y0)(y2 − y0 ).        (31)
С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между вектора-
ми:
              (vA0 A1 , vA0 A2 )
 cos α =                          =
            kvA0 A1 k · kvA0 A2 k
                                  (x1 − x0)(x2 − x0) + (y1 − y0 )(y2 − y0)
                        =p                              p                         , (32)
                              (x1 − x0)2 + (y1 − y0 )2 · (x2 − x0)2 + (y2 − y0 )2
где α — угол A1A0 A2. Если через SA0 A1 A2 обозначить площадь треугольни-
ка A0A1 A2, то имеет место равенство
                        1
             SA0 A1 A2 = |(x1 − x0)(y2 − y0 ) − (x2 − x0)(y1 − y0 )|.   (33)
                        2
   Пусть заданы две несовпадающие точки A1(x1, y1) и A2 (x2, y2) и A(x, y) —
произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на прямой A1A2 тогда и
только тогда, когда точки A, A1 и A2 коллинеарны. Условие коллинеарности
записывается в виде
                              x − x1 y − y1
                                                = 0,
                              x2 − x1 y2 − y1
или
                                x − x1    y − y1
                                        =         .                     (34)
                                x2 − x1   y2 − y1
Таким образом, уравнение (34) — это уравнение прямой, проходящей через
точки A1(x1, y1) и A2 (x2, y2).

Страницы