Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. Системы линейных уравнений 47
Метод Гаусса. Поскольку M — невырожденная матрица, хотя бы одно из
чисел a
11
, . . . , a
n1
отлично от нуля. Без ограничения общности можно считать,
что a
11
6= 0 (если это не так, строки систем ы пе ре ставить так, чтобы отличный
от нуля коэфф ициент a
ni
стал первым). Ра зделив первую строку на a
11
и
вычита я из i-й строки первую, умноженную на a
i1
, мы придём к системе
x
1
+ a
′
12
x
2
+ a
′
13
x
3
+ . . . + a
′
1n
x
n
= b
′
1
,
a
′
22
x
2
+ a
′
23
x
3
+ . . . + a
′
2n
x
n
= b
′
2
,
a
′
32
x
2
+ a
′
33
x
3
+ . . . + a
′
3n
x
n
= b
′
3
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
′
n2
x
2
+ a
′
n3
x
3
+ . . . + a
′
nn
x
n
= b
′
n
.
Система уравнений
a
′
22
x
2
+ a
′
23
x
3
+ . . . + a
′
2n
x
n
= b
′
2
,
a
′
32
x
2
+ a
′
33
x
3
+ . . . + a
′
3n
x
n
= b
′
3
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
′
n2
x
2
+ a
′
n3
x
3
+ . . . + a
′
nn
x
n
= b
′
n
также является невырожденной, и с ней мож но проделать ту же процедуру,
что и с исходной, и т.д. В итоге мы придём к системе уравнений
x
1
+ a
′
12
x
2
+ a
′
13
x
3
+ . . . + a
′
1n
x
n
= b
′
1
,
x
2
+ a
′
23
x
3
+ . . . + a
′
2n
x
n
= b
′
2
,
x
3
+ . . . + a
′
3n
x
n
= b
′
3
,
. . . . . . . . . . . . .
x
n
= b
′
n
.
(20)
Это за в ершает первый этап решения по методу Гаусс а.
Второй этап состоит из следующих шагов . Последнее уравнение си-
стемы (20) даёт з начение неизвестной x
n
. П одстав ля я x
n
в предпоследнее
уравнение, находим x
n−1
и т.д. В итоге мы найдём значения всех неизвест-
ных x
1
, . . . , x
n
.
Метод Гаусса называется также методом последовательного исключения
неизвестных.
Решение произволь ных систем. Пусть N = (c
ij
) — произвольная матри-
ца, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l.
Предложение 19. Ранг системы векторов
c
1
= (c
11
, c
12
, . . . , c
1l
),
§9. Системы линейных уравнений                                               47

Метод Гаусса. Поскольку M — невырожденная матрица, хотя бы одно из
чисел a11 , . . . , an1 отлично от нуля. Без ограничения общности можно считать,
что a11 6= 0 (если это не так, строки системы переставить так, чтобы отличный
от нуля коэффициент ani стал первым). Разделив первую строку на a11 и
вычитая из i-й строки первую, умноженную на ai1 , мы придём к системе
                        
                        
                        
                         x1 + a′12x2 + a′13x3 + . . . + a′1n xn = b′1 ,
                        
                        
                        
                              a′22 x2 + a′23 x3 + . . . + a′2n xn = b′2,
                               a′32 x2 + a′33 x3 + . . . + a′3n xn = b′3,
                        
                        
                        
                        
                               . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .
                        
                              a′n2 x2 + a′n3 x3 + . . . + a′nn xn = b′n .
Система уравнений
                      ′
                     
                     a22 x2 + a′23 x3 + . . . + a′2n xn = b′2,
                     
                     a′ x + a′ x + . . . + a′ x = b′ ,
                        32 2     33 3              3n n      3
                     
                      . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .
                     
                      ′
                      an2 x2 + a′n3 x3 + . . . + a′nn xn = b′n
также является невырожденной, и с ней можно проделать ту же процедуру,
что и с исходной, и т.д. В итоге мы придём к системе уравнений
                  
                  
                  
                   x1 + a′12 x2 + a′13 x3 + . . . + a′1n xn = b′1,
                  
                  
                  
                             x2 + a′23 x3 + . . . + a′2n xn = b′2,
                                        x3 + . . . + a′3n xn = b′3 , (20)
                  
                  
                  
                  
                                       . . .. . .. . .. . ..
                  
                                                         xn = b′n .
Это завершает первый этап решения по методу Гаусса.
   Второй этап состоит из следующих шагов. Последнее уравнение си-
стемы (20) даёт значение неизвестной xn. Подставляя xn в предпоследнее
уравнение, находим xn−1 и т.д. В итоге мы найдём значения всех неизвест-
ных x1, . . . , xn.
   Метод Гаусса называется также методом последовательного исключения
неизвестных.

Решение произвольных систем. Пусть N = (cij ) — произвольная матри-
ца, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l.
  Предложение 19. Ранг системы векторов
                              c1 = (c11 , c12, . . . , c1l ),

Страницы