Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. Системы линейных уравнений 45
Вычисление обратных матриц. Следствием теоремы 2 является другая
важная теорема.
Теорема 3. Квадратная матрица M = (a
ij
) обратима тогда и только то-
гда, когда её определитель не равен нулю. При эт о м обратная матрица имее т
вид
M
−1
=
1
∆
M
A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22
. . . A
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
1n
A
2n
. . . A
nn
, (12)
где A
ji
— алгебраические дополнения элеме нтов a
ij
.
§9. Системы линейных уравнений
Определение 20. Пусть V и W — векторные пространства размерно-
сти n и m соответственно и w ∈ W — вектор. Системой из m уравнений с n
неизвестными, наложенной на неизвестный вектор x, называется уравне ние
Ax = w. (13)
Вектор v ∈ V называется решением системы (13), если Av = w. Век-
тор w называется правой частью с ис т емы. Сист ема называется однородной,
если w = 0. Система называется невырожденной, если V = W и A — обрати-
мый оператор.
Предложение 18. Множество S решений однородной сист емы Ax = 0
является векторным подпространством пространства V . Если x = v
0
— неко-
торое решение системы Ax = w, то x = v
0
+ v, v ∈ S, — также решение этой
системы и любое её решение име ет такой вид.
Если в пространствах V и W выбрать базисы и представить операто р A
матрицей M = (a
ij
), а вектор w — набором его координат b
1
, . . . , b
m
, то си-
стема (13) перепишется в виде
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
.
(14)
Решение невырожденных систем. Если (13) — невырожденная система,
то она имеет единственное решение
x = A
−1
(w). (15)
§9. Системы линейных уравнений                                               45

Вычисление обратных матриц. Следствием теоремы 2 является другая
важная теорема.
   Теорема 3. Квадратная матрица M = (aij ) обратима тогда и только то-
гда, когда её определитель не равен нулю. При этом обратная матрица имеет
вид                                                    
                                   A11 A21 . . . An1
                              1 A.12 A.22 .. . . A.n2  ,
                                                        
                     M −1 =                                          (12)
                            ∆M  ..     ..     . . .. 
                                  A1n A2n . . . Ann
где Aji — алгебраические дополнения элементов aij .


§9. Системы линейных уравнений
   Определение 20. Пусть V и W — векторные пространства размерно-
сти n и m соответственно и w ∈ W — вектор. Системой из m уравнений с n
неизвестными, наложенной на неизвестный вектор x, называется уравнение
                                   Ax = w.                                 (13)
Вектор v ∈ V называется решением системы (13), если Av = w. Век-
тор w называется правой частью системы. Система называется однородной,
если w = 0. Система называется невырожденной, если V = W и A — обрати-
мый оператор.
   Предложение 18. Множество S решений однородной системы Ax = 0
является векторным подпространством пространства V . Если x = v0 — неко-
торое решение системы Ax = w, то x = v0 + v, v ∈ S, — также решение этой
системы и любое её решение имеет такой вид.
   Если в пространствах V и W выбрать базисы и представить оператор A
матрицей M = (aij ), а вектор w — набором его координат b1 , . . . , bm , то си-
стема (13) перепишется в виде
                  
                  
                   a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1,
                  
                  a x + a x + . . . + a x = b ,
                      21 1    22 2            2n n    2
                                                                            (14)
                  
                    .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .
                  
                  
                    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm .

Решение невырожденных систем. Если (13) — невырожденная система,
то она имеет единственное решение
                                 x = A−1(w).                               (15)

Страницы