Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. Матрицы и определители 43
месте:
1 2 . . . i . . . j . . . n
1 2 . . . j . . . i . . . n
.
Например, среди подстановок (8) транспозициями являются σ
2
, σ
4
и σ
5
.
Предложение 16. Любую подстановку можно представить в виде компо-
зиции транспозиций. При любом таком разложении количество участвующих
в нём транспозиций либо всегда чётно, либо всегда нечётно.
Определение 17. Подстановка (и соответствующая перес тановка) назы-
вается чётной, если е ё можно раз ложить в композицию чётного числа транс-
позиций. В противном случае она называется нечётной. Чётность подстанов-
ки σ обозначается через |σ|.
Так, в примере 9 подстановки σ
1
, σ
3
и σ
6
— чётные, а σ
2
, σ
4
и σ
5
— нечётные.
Определители и их свойства.
Определение 18. Пусть M = (a
ij
) — матрица, i, j = 1, . . . , n. Её опреде-
лителем (или детерминантом) называется выражение
∆
M
=
X
σ∈Σ
n
(−1)
|σ|
a
1i
1
a
2i
2
. . . a
a
ni
n
. (9)
Матрица M называется невырожденной, если её определитель отличен от
нуля.
Для определителя используются также обозначения |a
ij
|, ∆M, |M|
и det M.
Предложение 17 (основные свойства определителей). Пусть M — м а т -
рица и ∆ = ∆
M
— её определитель. Тогда:
1. Определитель не изменится, если матрицу M зам енить на транспони-
рованную M
∗
= (a
ji
),
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
=
a
11
a
21
. . . a
n1
a
12
a
22
. . . a
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1n
a
2n
. . . a
nn
.
2. Определитель меняет знак, если поменять местами любые две его стро-
ки (столбца).
3. Определитель матрицы равен нулю, если элементы каких-нибудь двух
строк (столбцов) пропорциональны. В частности, он равен нулю, если
одна из строк (один из столбцов) состоит целиком из нулей.
4. Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (столбца) мож-
но вынести за знак определителя.
§8. Матрицы и определители                                                  43

месте:                                       
                       1 2 ... i ... j ... n
                                                .
                       1 2 ... j ... i ... n
Например, среди подстановок (8) транспозициями являются σ2, σ4 и σ5.
   Предложение 16. Любую подстановку можно представить в виде компо-
зиции транспозиций. При любом таком разложении количество участвующих
в нём транспозиций либо всегда чётно, либо всегда нечётно.
   Определение 17. Подстановка (и соответствующая перестановка) назы-
вается чётной, если её можно разложить в композицию чётного числа транс-
позиций. В противном случае она называется нечётной. Чётность подстанов-
ки σ обозначается через |σ|.
  Так, в примере 9 подстановки σ1 , σ3 и σ6 — чётные, а σ2, σ4 и σ5 — нечётные.
Определители и их свойства.
  Определение 18. Пусть M = (aij ) — матрица, i, j = 1, . . . , n. Её опреде-
лителем (или детерминантом) называется выражение
                         X
                   ∆M =     (−1)|σ|a1i1 a2i2 . . . aanin .                (9)
                             σ∈Σn

Матрица M называется невырожденной, если её определитель отличен от
нуля.
   Для определителя используются также обозначения |aij |, ∆M, |M|
и det M.
  Предложение 17 (основные свойства определителей). Пусть M — мат-
рица и ∆ = ∆M — её определитель. Тогда:
   1. Определитель не изменится, если матрицу M заменить на транспони-
      рованную M ∗ = (aji),
                   a11 a12   . . . a1n   a11 a21   . . . an1
                   a21 a22   . . . a2n   a12 a22   . . . an2
                    ..
                     .
                        ..
                         .   . . . ... = ...  ..
                                               .   . . . ... .
                   an1 an2   . . . ann   a1n a2n   . . . ann
   2. Определитель меняет знак, если поменять местами любые две его стро-
      ки (столбца).
   3. Определитель матрицы равен нулю, если элементы каких-нибудь двух
      строк (столбцов) пропорциональны. В частности, он равен нулю, если
      одна из строк (один из столбцов) состоит целиком из нулей.
   4. Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (столбца) мож-
      но вынести за знак определителя.

Страницы