Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

38 §7. Базисы и размерность
3. Система векторов e
1
, . . . , e
n
называется (конечным) базисом простран-
ства V , если любой вектор v ∈ V является их линейной комбинацией,
причём представление
v = λ
1
e
1
+ λ
2
e
2
+ . . . + λ
n
e
n
единственно
1
. В э т о м случае пространство называется конечномерным.
Числа λ
i
называются координатами вектора в данном базисе.
Теорема 1. Если e
1
, . . . , e
n
и e
′
1
, . . . , e
′
n
′
— два базиса пространства V ,
то n = n
′
.
Таким образом, если пространство коне чноме рно, то количество векторов
во всех базисах этого пространств а одинаково.
Определение 12. Количество векторов в базисе данного конечномерного
пространства V называется размерностью этого пространства и обозначается
через dim V .
Пример 7. Векторы
ε
1
= (1, 0, . . . , 0),
ε
2
= (0, 1, . . . , 0),
. . . . . . . . . .
ε
n
= (0 , 0, . . . , 1)
образуют базис пространства R
n
. Значит, оно n-мерно.
Предложение 8. Если V
′
⊂ V — подпространство, то dim V
′
6 dim V и
равенство достигается в том и только том случае, когда V
′
= V .
Предложение 9. Пусть V и W — конечномерные векторные простран-
ства и e
1
, . . . , e
n
— базис пространства V . Тогда для любого набора векто-
ров w
1
, . . . , w
n
∈ W существует и единственным образом определён такой
линейный оператор A: V → W , что
A(e
i
) = w
i
, i = 1, . . . , n.
Следствие 2. Если dim V = n, dim W = m, то dim Lin(V, W ) = mn.
Определение 13. Пусть v
1
, . . . , v
r
∈ V . Множество
L(v
1
, . . . , v
r
) = {v =
r
X
i=1
λ
i
v
i
| λ
i
∈ R },
образованное всевозможными линейными комбинациями векторов v
1
, . . . , v
r
,
называется их линейной оболочкой.
1
Единственность означает, что из равенства λ
1
e
1
+ λ
2
e
2
+ . . . + λ
n
e
n
= λ
′
1
e
1
+ λ
′
2
e
2
+ . . . + λ
′
n
e
n
следуют равенства λ
1
= λ
′
1
, . . . , λ
n
= λ
′
n
.
38                                                                     §7. Базисы и размерность

      3. Система векторов e1 , . . . , en называется (конечным) базисом простран-
         ства V , если любой вектор v ∈ V является их линейной комбинацией,
         причём представление
                                    v = λ1 e1 + λ2 e2 + . . . + λn en
         единственно1. В этом случае пространство называется конечномерным.
         Числа λi называются координатами вектора в данном базисе.
   Теорема 1. Если e1 , . . . , en и e′1 , . . . , e′n′ — два базиса пространства V ,
то n = n′ .
   Таким образом, если пространство конечномерно, то количество векторов
во всех базисах этого пространства одинаково.
   Определение 12. Количество векторов в базисе данного конечномерного
пространства V называется размерностью этого пространства и обозначается
через dim V .
     Пример 7. Векторы
                                            ε1 = (1, 0, . . . , 0),
                                            ε2 = (0, 1, . . . , 0),
                                            . . .. . .. . ..
                                            εn = (0, 0, . . . , 1)
образуют базис пространства Rn . Значит, оно n-мерно.
   Предложение 8. Если V ′ ⊂ V — подпространство, то dim V ′ 6 dim V и
равенство достигается в том и только том случае, когда V ′ = V .
   Предложение 9. Пусть V и W — конечномерные векторные простран-
ства и e1 , . . . , en — базис пространства V . Тогда для любого набора векто-
ров w1 , . . . , wn ∈ W существует и единственным образом определён такой
линейный оператор A : V → W , что
                                      A(ei) = wi ,      i = 1, . . . , n.
     Следствие 2. Если dim V = n, dim W = m, то dim Lin(V, W ) = mn.
     Определение 13. Пусть v1, . . . , vr ∈ V . Множество
                                            r
                                            X
                 L(v1, . . . , vr ) = { v =     λi vi | λi ∈ R },
                                                          i=1
образованное всевозможными линейными комбинациями векторов v1, . . . , vr ,
называется их линейной оболочкой.
     1Единственность означает, что из равенства λ e + λ e + . . . + λ e = λ′ e + λ′ e + . . . + λ′ e
                                                 1 1   2 2           n n   1 1    2 2            n n
следуют равенства λ1 = λ′1 , . . . , λn = λ′n .

Страницы