Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 §4. Действительные числа
Соизмеримость означает, что c = ml, a = nl, где l — общая мера. Поэт о м у
уравнение (35) перепишется в виде
m
2
= 2n
2
, m, n ∈ N. (36)
Можно считать, что числа m и n не имеют общег о делителя (в противном
случае на этот делитель можно было бы сократить). Из уравнения (36) сле-
дует, что число m делится на 2, то есть m = 2k, k ∈ N. Значит, 2k
2
= n
2
и,
следовательно, n тоже делится на 2. Но это противоречит предположению о
том, что m и n не имеют общего делителя. Следовательно, представление (36)
невозможно.
Последовательные приближения. Несмотря на полученный выше отри-
цательный результат, мы можем сколь угодно точно найти выражение ве ли-
чины c через a. Именно, положим c = ax, и тогда равенство (35) примет
вид
x
2
= 2. (37)
Поскольку 1
2
< 2, а 2
2
> 2, искомое решение, если оно с уществует, должно
лежать в интервале (1, 2). Рассмотрим середину эт о го интервала — число
3
2
;
оно отличается от решения не более, чем на
1
2
. Далее очевидно, что решение
должно ле жать в интервале (1,
3
2
), поскольку (
3
2
)
2
> 2. Следовательно, чис-
ло
5
4
— середина интервала (1,
3
2
) — отличается от решения не более, чем на
1
4
.
На следующем шаге мы замечаем, что решение лежит в интервале (
5
4
,
3
2
) и
так далее, до бесконечности.
Рассмотренный пример показывает, что существует «нечто», являющееся
решением уравнения (37), но это — не рациональное число, хотя и может
быть как угодно точно приближе но рациональными числами. Что это такое
объясняет ся ниже.
Сечения Дедекинда. Итак, мы установили, что в множестве рациональ-
ных чисел имеются лакуны, «дыры». Оказывается, их можно «заклеить».
Определение 8. Па ра подмножеств (A, A
′
), где A, A
′
⊂ Q, называется
сечением Дедекинда (или просто сечением) множества рациональных чисел,
если выполняются следующие условия:
1) A, A
′
6= ∅;
2) A ∪ A
′
= Q;
3) A ∩ A
′
= ∅;
4) ∀p ∈ A, q ∈ A
′
⇒ p < q.
Множество A называется нижним классом сечения, а множество A
′
— его
верхним классом.
26                                                  §4. Действительные числа

Соизмеримость означает, что c = ml, a = nl, где l — общая мера. Поэтому
уравнение (35) перепишется в виде
                           m2 = 2n2,       m, n ∈ N.                        (36)
Можно считать, что числа m и n не имеют общего делителя (в противном
случае на этот делитель можно было бы сократить). Из уравнения (36) сле-
дует, что число m делится на 2, то есть m = 2k, k ∈ N. Значит, 2k 2 = n2 и,
следовательно, n тоже делится на 2. Но это противоречит предположению о
том, что m и n не имеют общего делителя. Следовательно, представление (36)
невозможно.

Последовательные приближения. Несмотря на полученный выше отри-
цательный результат, мы можем сколь угодно точно найти выражение вели-
чины c через a. Именно, положим c = ax, и тогда равенство (35) примет
вид
                                x2 = 2.                           (37)
Поскольку 12 < 2, а 22 > 2, искомое решение, если оно существует, должно
лежать в интервале (1, 2). Рассмотрим середину этого интервала — число 32 ;
оно отличается от решения не более, чем на 21 . Далее очевидно, что решение
должно лежать в интервале (1, 32 ), поскольку ( 23 )2 > 2. Следовательно, чис-
ло 54 — середина интервала (1, 32 ) — отличается от решения не более, чем на 14 .
На следующем шаге мы замечаем, что решение лежит в интервале ( 45 , 32 ) и
так далее, до бесконечности.
  Рассмотренный пример показывает, что существует «нечто», являющееся
решением уравнения (37), но это — не рациональное число, хотя и может
быть как угодно точно приближено рациональными числами. Что это такое
объясняется ниже.
Сечения Дедекинда. Итак, мы установили, что в множестве рациональ-
ных чисел имеются лакуны, «дыры». Оказывается, их можно «заклеить».
   Определение 8. Пара подмножеств (A, A′), где A, A′ ⊂ Q, называется
сечением Дедекинда (или просто сечением) множества рациональных чисел,
если выполняются следующие условия:
    1) A, A′ 6= ∅;
    2) A ∪ A′ = Q;
    3) A ∩ A′ = ∅;
    4) ∀p ∈ A, q ∈ A′ ⇒ p < q.
Множество A называется нижним классом сечения, а множество A′ — его
верхним классом.

Страницы