Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Натуральные, целые и рациональные числа 23
Целые числа. Целые числа возникают как решения уравнений вида
x + n = 0, n ∈ N, (30)
которые нельзя решить, находясь внутри натурального ряда. А именно, мы
«собственными руками» рас ширяем натуральный ряд нулём, а также «знач-
ками» вида «−n», где n — натуральное число (эти значки называются отри-
цательными целыми числами), и полагаем
n + (−1) = {число, предшествующее n},
если n > 1, и далее по индукции
n + (−(m + 1)) =
n − m − 1, если n > m + 1,
0, если n = m + 1,
−(m − n + 1), если n < m + 1.
Умножаются целые числа по правилам
(−n) · m = −(nm), (−n) · (−m) = nm.
Далее можно доказать, что сложение и умножение целых чисел коммута-
тивно, ассоциативно и дистрибутивно. Полученное множество с операциями
сложения и ум ноже ния обозначается через Z. Оно счётно и тоже линейно
упорядочено:
. . . − (n + 1) < −n < . . . < −1 < 0 < 1 < . . .
Кроме того, в отличие от натуральных чисел, все целые числа можно вычи-
тать друг из друга:
n − m = n + (−m) , n − (−m) = n + m,
(−n) − m = −(n + m), (−n) − (−m) = m − n.
Замечание. Пифаго р, живший в VI в. до нашей эры, с читал, что числа
существуют в природе. С тех пор человечество шагнуло далеко вперёд, и, как
мы убедились, даже та кие «е стественные» числа, как натуральные и целые,
создаются «руками».
Ра циональные числа. Рациональные числа возникают при решении урав-
нения
mx + n = 0, m, n ∈ Z, (31)
которое, вообще говоря, неразрешимо в целых числах. Чтобы сделать урав-
нение (31) разрешимым, вводят понятие рациональной дроби, и делают это
следующим образом.
§3. Натуральные, целые и рациональные числа                            23

Целые числа. Целые числа возникают как решения уравнений вида
                           x + n = 0,       n ∈ N,                    (30)
которые нельзя решить, находясь внутри натурального ряда. А именно, мы
«собственными руками» расширяем натуральный ряд нулём, а также «знач-
ками» вида «−n», где n — натуральное число (эти значки называются отри-
цательными целыми числами), и полагаем
                 n + (−1) = {число, предшествующее n},
если n > 1, и далее по индукции
                             
                             n − m − 1,
                                           если n > m + 1,
            n + (−(m + 1)) = 0,             если n = m + 1,
                             
                             −(m − n + 1), если n < m + 1.

Умножаются целые числа по правилам
                (−n) · m = −(nm),         (−n) · (−m) = nm.
Далее можно доказать, что сложение и умножение целых чисел коммута-
тивно, ассоциативно и дистрибутивно. Полученное множество с операциями
сложения и умножения обозначается через Z. Оно счётно и тоже линейно
упорядочено:
               . . . − (n + 1) < −n < . . . < −1 < 0 < 1 < . . .
Кроме того, в отличие от натуральных чисел, все целые числа можно вычи-
тать друг из друга:
                n − m = n + (−m),       n − (−m) = n + m,
             (−n) − m = −(n + m),       (−n) − (−m) = m − n.
   Замечание. Пифагор, живший в VI в. до нашей эры, считал, что числа
существуют в природе. С тех пор человечество шагнуло далеко вперёд, и, как
мы убедились, даже такие «естественные» числа, как натуральные и целые,
создаются «руками».

Рациональные числа. Рациональные числа возникают при решении урав-
нения
                    mx + n = 0,   m, n ∈ Z,                   (31)
которое, вообще говоря, неразрешимо в целых числах. Чтобы сделать урав-
нение (31) разрешимым, вводят понятие рациональной дроби, и делают это
следующим образом.

Страницы