Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 17 стр.

16                                             §2. Отображения и отношения

x > 0 существует два значения y, определяемых уравнением (18). Если, од-
нако, рассматривать только неотрицательные x и выбрать какое-то одно зна-
чение корня (например, y > 0), то мы получим взаимно-однозначное соот-
ветствие из множества неотрицательных действительных чисел в себя. То же
самое отображение, понимаемое как отображение во всё множество действи-
тельных чисел, является инъекцией.
   Пусть A — произвольное множество. Тогда отображение idA : A → A, со-
поставляющее каждому элементу a ∈ A его самого, то есть
                           ∀a ∈ A : idA (a) = a,
называется тождественным. Если понятно, какое множество имеется в виду,
пишут просто id.
   Если A, B и C — множества, а
                        f : A → B,       g: B → C
— отображения, то можно определить отображение g ◦ f : A → C, полагая
                     (g ◦ f )(a) = g(f (a)),     a ∈ A.
Это отображение называется композицией отображений f и g.
  Предложение 3. Если f : A → B, g : B → C и h : C → D — произволь-
ные отображения множеств, то
                         h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f                   (19)
и
                       idB ◦f = f,       f ◦ idA = f.                 (20)
Кроме того, композиция сюрьекций является сюръекцией, а композиция инъ-
екций — инъекцией.
   Отображение g : B → A называется обратным к отображению f : A → B,
если
                      g ◦ f = idA ,  f ◦ g = idB .
Очевидно, что и g обратно к f . В этом случае пишут g = f −1 и f = g −1 и
отображения называют взаимно обратными.
   Предложение 4. Отображение f : A → B обладает обратным тогда и
только тогда, когда оно является взаимно однозначным соответствием.

Декартово произведение. Пусть A и B — множества.