Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 15 стр.

14                                           §2. Отображения и отношения

Необходимость и достаточность. Понятия необходимости и достаточ-
ности являются важнейшими составляющими многих математических рас-
суждений и доказательств.
   Некоторое свойство X называется достаточным, для того чтобы объект
обладал свойством Y , если наличие свойства X влечёт за собой наличие свой-
ства Y . Например, для того чтобы четырёхугольник являлся прямоуголь-
ником, достаточно, чтобы он был квадратом. Или, для того чтобы число
делилось на три, достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на девять.
Пусть B — множество объектов, обладающих свойством X, а A — множе-
ство объектов, обладающих свойством Y . Тогда X достаточно для Y озна-
чает, что B ⊂ A. Например, множество квадратов является подмножеством
множества прямоугольников. На языке логики достаточность выражается за-
писью X ⇒ Y : «если квадрат, то прямоугольник».
   Если свойство X достаточно для Y , то, в свою очередь, Y необходимо
для X. Так, для того чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо,
чтобы он был прямоугольником. Чтобы число делилось на четыре, необходи-
мо, чтобы оно было чётным.
   Условие, являющееся одновременно и необходимым, и достаточным назы-
вается необходимым и достаточным. Например, для того чтобы ромб яв-
лялся квадратом, необходимо и достаточно, чтобы он был прямоугольником.
Необходимость и достаточность в математических текстах часто выражают
словами «тогда и только тогда»: натуральное число тогда и только тогда де-
лится на три, когда сумма его цифр кратна трём. Ещё одно синонимичное
выражение — «в том и только в том случае»: треугольник является равно-
бедренным в том и только в том случае, когда одна из его высот совпадает с
соответствующей биссектрисой.


§2. Отображения и отношения
   Понятие отображения, или соответствия, как и понятие множества, так-
же принадлежит к числу основополагающих и неопределимых понятий мате-
матики. Говорят, что f — отображение из множества A в множество B, если
задан закон, правило, позволяющие по каждому элементу a ∈ A однозначно
определить элемент f (a) ∈ B. При этом элемент b = f (a) называется обра-
зом элемента a при отображении f , а элемент a — прообразом элемента b.
Два отображения f, g : A → B считаются равными, если f (a) = g(a) для
всех элементов a ∈ A. Тогда пишут f = g. Множество всевозможных образов
отображения f обозначается через f (A):
                 f (A) = { b ∈ B | ∃a ∈ A : b = f (a) } ⊂ B.