Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 8 стр.

§1. Множества                                                                           7

поступивших студентов), то во втором случае это не так — что есть камень,
что называть обратной стороной, да и как на эту сторону попасть?
   Чтобы избежать подобных проблем, в математике обычно используют бо-
лее формальные способы описания множеств. Например, запись
                                  N2 = { 2n | n ∈ N },
где N — множество натуральных чисел1, определяет множество чётных чисел
(конечно, если мы знаем, что такое натуральные числа). Ещё один пример:
равенство
                   C = { (x, y) | x2 + y 2 = 1, x, y ∈ R }
определяет множество точек, лежащих на окружности единичного радиуса с
центром в начале координат.
   Среди всевозможных множеств, изучаемых в математике, есть одно особое.
Оно называется пустым и не содержит ни одного элемента. Пустое множе-
ство можно описывать разными способами. Например, множество
                                 { x ∈ N | n2 + 1 = 0 }
(то есть множество натуральных чисел, квадрат которых равен −1) является
пустым. Пустое множество обозначается через ∅.
   Пусть E и E ′ — множества. Множество E ′ называется подмножеством
множества E, если любой элемент из E ′ является элементом множества E. В
этом случае используются обозначения
                                 E ′ ⊂ E или E ⊃ E ′ .
Из определения следует что любое множество является своим подмноже-
ством, а также пустое множество является подмножеством любого множества,
то есть
                            E ⊂ E,     ∅ ⊂ E.
Говорят также, что E содержит E ′ в качестве подмножества, или E ′ содер-
жится в E. Имеет место простой и очень важный факт.
   Предложение 1. Если E ⊂ E ′ и E ′ ⊂ E, то E = E ′.
   Замечание. Если множество E ′ является подмножеством множества E,
причём E ′ 6= E и E ′ 6= ∅, то его называют собственным подмножеством.
Иногда (особенно в старой литературе) символы «⊂» и «⊃» используют для
обозначения собственных подмножеств, а когда хотят подчеркнуть, что под-
множество может совпадать со всем множеством, пользуются обозначения-
ми «⊆» и «⊇».
   1Что такое натуральные и другие числа нам ещё предстоит выяснить — см. §3 и §4. Пока же
будем исходить из наивного, школьного представления о них.