Составители:
Рубрика:
18 19
правлением декартовых осей координат
Ox
,
Oy
,
Oz
соответственно.
Обозначим проекции вектора
a
на координатные оси через
x
a
,
y
a
и
z
a , тогда вектор
a
однозначно представляется в виде
kajaiaa
zyx
++= . (1)
O
x
z
y
i
j
k
Рис. 6
Декартов базис позволяет установить взаимно однозначное соот-
ветствие между векторами
a
и тройками чисел
),,(
zyx
aaa
. Представ-
ление вектора
a
в виде kajaiaa
zyx
++= и в виде ),,(
zyx
aaaa =
считаем эквивалентными. Числа
x
a
,
y
a и
z
a
называются координата-та-
ми вектора
a
в базисе
),,( kji
.
2. Длина вектора
),,(
zyx
aaaa = определяется по формуле
.
222
zyx
aaaa ++=
(2)
3. Если даны координаты начала
),,(
1111
zyxM
и конца
),,(
2222
zyxM
вектора
a
, то координаты вектора вычисляются по
формулам
12
xxa
x
−=
,
12
yya
y
−=
и
.
12
zza
z
−=
(3)
4. Если даны координаты векторов
),,(
zyx
aaaa =
,
),,(
zyx
bbbb = и число
λ
, тоо
),,,(
zzyyxx
babababa +++=+
).,,(
zyx
aaaa λλλ=λ (4)
5. Скалярным произведением двух векторов
a
и
b
называетсяся
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла
α
между ними. Скалярное произведение двух векторов
a
и
b
будем
обозначать символом
),( ba
, тогда по определению
α= cos||||),( baba
. (5)
Имеет место следующее утверждение. Если
),,(
zyx
aaaa =
и ),,(
zyx
bbbb = , тоо
.),(
zzyyxx
babababa ++= (6)
Из формул (5) и (6) следует, что
.
),(
cos
222222
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
ba
++++
++
==α
(7)
Замечание. Если векторы
a
и
b
перпендикулярны
)( ba ⊥
, тоо
угол
2
π
=α
,
0cos =α
и скалярное произведение этих векторов равно
нулю:
.0),( =++=
zzyyxx
babababa (8)
6. Векторное произведение. Напомним, что в трехмерном век-
торном пространстве выбран правый ортонормированный базис
),,( kji
, изображенный на рис. 6 и 7. Выбор базиса, который по опре-
делению считается правым, равносилен ориентации пространства. Бу-
дем говорить, что векторы
),,( kji
образуют правую тройку..
Определение векторного произведения двух векторов включает в
себя выбор ориентации пространства.
Векторным произведением двух упорядоченных векторов
a
и
b
называется новый вектор
,c
удовлетворяющий следующим условиям:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
