Составители:
Рубрика:
22 23
Приравнивая в отдельности каждую дробь параметру
t
и разре-
шая полученные уравнения относительно переменных
x
,
y
и
z
, полу-лу-
чаем параметрические уравнения прямой
.
,
,
,
0
0
0
+∞<<∞−
+=
+=
+=
t
tnzz
tmyy
tlxx
(15)
Обращаем внимание на то, что координаты направляющего век-
тора
),,( nmls =
прямой являются коэффициентами при параметре
t
в уравнениях (15). Также из уравнений (14) видно, что прямая в про-
странстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей,
т. е. в виде
=+++
=+++
.0
,0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
(16)
Решение задачи № 1
1. Найдем координаты векторов
AB
и
AC
по формуле (3):
,)9,2,2()45,20,13( −=−−+−=AB
.)6,6,2()42,24,11( −−=−−+−−=AC
Используя формулы (4), сначала находим координаты вектора
)18,4,4(2 −=AB
, затем координаты вектора
)12,2,6(2 −−=− ACAB
.
Скалярное произведение векторов
ACAB −2
и
AC
вычисляем
по формуле (6):
.48)6()12(6)2()2(6),2( =−⋅−+⋅−+−⋅=− ACACAB
2. Векторное произведение векторов
)9,2,2( −=AB
и
)6,6,2( −−=AC
находим по формуле (10):
.163042))2(262(
))6(2)2()9(()6)9()6(2(],[
kjik
jibac
++=−⋅−⋅+
+−⋅−−⋅−+⋅−−−⋅==
Таким образом, получаем, что
)16,30,42(],[ == cba
.
3. Из определения векторного произведения следует, что площадь
S
параллелограмма, построенного на векторах
AB
и
,AC
равна дли-
не векторного произведения, т. е.
|||],[| cbaS ==
.
Для определения длины вектора
cba =],[
воспользуемся фор-
мулой (2):
.04,542920163042|||],[|
222
≈=++=== cbaS
Ответ: 1)
48),2( =− ACACAB
; 2)
)16,30,42(],[ =ba
; 3) пло-
щадь
S
параллелограмма, построенного на векторах
AB
и
AC
равна
.04,542920|||],[| ≈=== cbaS
Решение задачи № 2
1. Так как плоскость
P
проходит через точку
)1;0;2(
0
−
M
, то ее
уравнение будем искать в виде (12):
.0)()()(:
000
=−+−+−
zzCyyBxxAP
В нашей задаче
2
0
−=
x
,
0
0
=
y
и
1
0
=
z
.
В качестве вектора нормали
),,( CBAN =
плоскости
P
можно
взять любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости
P
. Так
как плоскость
P
параллельна плоскости
0122:
1
=+−+
zyxP
, то их
нормальные векторы коллинеарны
),,(||),,(
1111
CBANCBAN
, поэтому
в качестве вектора нормали
),,( CBAN =
можно взять вектор
)2,1,2(),,(
1111
−== CBAN
(вектор нормали плоскости
1
P
), т. е.
)2,1,2( −=N
.
Тогда уравнение искомой плоскости примет вид
0)1(2)0(1)2(2: =−−−++ zyxP
или
0622 =+−+ zyx
.
2. Найдем угол между двумя плоскостями
0622: =+−+ zyxP
и
01053:
3
=++−
zyxP
.
Углом между двумя плоскостями, заданными уравнениями
=+++
=+++
,0:
,0:
11113
DzCyBxAP
DzCyBxAP
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
