Составители:
Рубрика:
26 27
Решение задачи № 5а
Обозначим для краткости и удобства предел через
.
)3)(1(
459
lim
3
2
1
−+
++
=
+∞→
xx
xxx
L
x
Исследуем, как ведут себя числитель и знаменатель дроби, сто-
ящей под знаком предела, при
+∞→x
на «интуитивном уровне». Нач-
нем исследование с числителя. В выражении
xx 59
2
+
можно пре-
небречь слагаемым
x5
, так как оно растет значительно медленнее, чем
2
9x
. Более точно, говорят, что бесконечно большая величина
2
9x
явля-
ется бесконечно большой величиной высшего порядка, чем бесконеч-
но большая
x5
. Следовательно,
122
39~59 xxxx =+
. Второе слага-
емое числителя
3
1
3
44 xx =
, и им тоже можно пренебречь по сравне-
нию с первым по тем же соображениям. Таким образом, числитель
стремится к
∞+
как
x3
(
x
в первой степени):
++ xx 59
2
+∞→+ xx 3~4
3
при
+∞→x
.
Аналогичные рассуждения позволяют установить, что и знаме-
натель дроби стремится к
∞+
как
x
в первой степени:
+x )1(
×
×
+∞→=⋅− xxxx ~)3(
при
+∞→x
.
Таким образом, перед нами задача о раскрытии неопределеннос-
ти
∞
∞
. Более того, на «интуитивном уровне» получаем и значение
предела
3
1
=L
:
.3
3
~
)3()1(
459
1
3
2
L
x
x
xx
xxx
==
−+
++
Для строгого доказательства того, что предел
3
1
=
L
, разделим
числитель и знаменатель дроби на
x
(величину, определяющую «ско-
рость стремления числителя и знаменателя на бесконечность»).
Принимая во внимание, что
x
x
xx
x
xx 5
9
5959
2
22
+=
+
=
+
,
3
2
3
44
x
x
x
=
,
,
3
1
1
1
31)3()1(
−
+=
−+
=
−⋅+
xxx
x
x
x
x
xx
получаем
.
3
1
1
1
45
9
lim
3
2
1
−
+
++
=
+∞→
xx
x
x
L
x
Данный предел уже не содержит «неопределенности», и для его
вычисления применим теорему о пределе частного двух функций.
Учитывая, что
0
1
lim =
+∞→
a
x
x
при
0>a
, окончательно получаем, чтоо
.3
1
9
3
1
1
1lim
45
9lim
3
2
1
==
−
+
++
=
+∞→
+∞→
xx
x
x
L
x
x
Ответ: предел
3
1
=L
.
Решение задачи № 5б
Обозначим для краткости и удобства предел через
.43lim
44
2
+−+=
+∞→
xxxL
x
Так как
+∞=+
+∞→
xx
x
3lim
4
и
+∞=+
+∞→
4lim
4
x
x
, то перед нами
задача о раскрытии неопределенности вида
][ ∞−∞
. Для ее раскрытия
воспользуемся формулой
)()(
22
bababa +−=−
, в которой сомножи-
тели
)( ba −
и
)( ba +
будем называть сопряженными друг другу. Умно-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
