Составители:
Рубрика:
24 25
будем называть любой из двугранных углов, образованных этими пло-
скостями. Один из этих углов равен углу
α
между нормальными век-
торами
),,( CBAN =
и
),,(
3333
CBAN =
плоскостей
P
и
3
P
соответ-ет-
ственно. Угол
α
определяется согласно формуле (7), а именно:
.cos
2
3
2
3
2
3
222
333
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=α
В нашей задаче получаем, что
.
7
1
355
5
5)1(3)2(12
5)2()1(132
cos
222222
−=−=
+−+−++
⋅−+−⋅+⋅
=α
и
95839,1)
7
1
arccos( ≈−=α
радиан или
'12112
=α
.
Ответ: 1) уравнение искомой плоскости
0622 =+−+ zyx
;
2)
7
1
cos −=α
,
21112
′
=α
.
Решение задачи № 3
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда параллель-
ны их направляющие векторы. Найдем направляющие векторы дан-
ных прямых.
1. Первая прямая задана параметрическими уравнениями. В этом
случае координатами направляющего вектора являются коэффициен-
ты при параметре
t
(см. (15)). Следовательно, направляющий вектор
первой прямой
)1,1,2(
1
−=s
.
2. Вторая прямая задана как линия пересечения двух плоско-
стей:
023:
1
=+++
zyxP
с вектором нормали
)1,3,1(
1
=N
и
023:
2
=−−−
zyxP
с вектором нормали
)3,1,1(
2
−−=N
. Любой век-
тор, перпендикулярный векторам
1
N
и
2
N
, параллелен данной пря-
мой и, следовательно, является ее направляющим вектором. Поэтому
в качестве направляющего вектора второй прямой можно взять вектор
],[
212
NNs =
.
С помощью формулы (10) найдем координаты вектора
,448
)13)1(1())3(111())1(1)3(3(
2
kji
kjis
−+−=
=⋅−−⋅+−⋅−⋅+−⋅−−⋅=
Таким образом,
)4,4,8(
2
−−=s
.
3. Докажем параллельность векторов
1
s
и
2
s
, используя условие (11):
.
4
1
4
1
8
2
−
=
−
=
−
Справедливость последних равенств доказывает параллельность
данных прямых.
Ответ: прямые параллельны.
Решение задачи № 4
Найдем параметрические уравнения прямой. Учитывая, что точ-
ка
)4;2;1( −A
лежит на прямой, уравнения (15) перепишем в виде
.
,
,
,
+∞<<∞−
⋅+=
+=
⋅+=
t
tnzz
tmyy
tlxx
A
A
A
Так как прямая перпендикулярна плоскости Р:
0432 =−+− zyx
,
то в качестве направляющего вектора
),,( nmls =
прямой можно взять
вектор нормали
)3,1,2( −=N
плоскости
P
, т. е.
)3,1,2( −=s
. Подстав-ав-
ляя координаты точки
)4;2;1( −A
и направляющего вектора
)3,1,2( −=s
в параметрические уравнения прямой, получаем
Ответ:
.
,34
,2
,21
+∞<<∞−
⋅+=
−−=
⋅+=
t
tz
ty
tx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
