Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Красоленко Г.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28 29
жим и разделим выражение, стоящее под знаком предела в числителе, на
сопряженное ему выражение
43
44
+++ xxx
, в результате получим
=
+++
++++−+
=
+∞→
43
)43()43(
lim
44
4444
2
xxx
xxxxxx
L
x
.
43
43
lim
43
)4()3(
lim
4444
44
+++
−
=
+++
+−+
=
+∞→+∞→
xxx
x
xxx
xxx
xx
В последнем пределе мы пришли к задаче о раскрытии неопреде-
ленности вида
∞
∞
. Проведем рассуждения, аналогичные тем, кото-
рые были сделаны при вычислении предела № 5а. Мы видим, что чис-
литель стремится к
∞+
как
x3
(
x
в первой степени), а знаменатель
дроби стремится к
∞+
как 2
2
x
(
x
во второй степени), т. е. скоростьсть
знаменателя является бесконечно большой величиной высшего поряд-
ка, чем скорость числителя, поэтому
.0
2
3
2
3
~
43
43
2
2
44
L
x
x
x
xxx
x
x
=→=
+++
−
+∞→
Для строгого доказательства того, что предел
0
2
=L
, разделим
числитель и знаменатель дроби на
2
x
(величину, определяющую «ско-
рость стремления знаменателя на бесконечность»). Принимая во вни-
мание, что
22
4343
x
x
x
x
−=
−
,
34
4
2
4
3
1
33
xx
xx
x
xx
+=
+
=
+
и
,
4
1
44
44
4
2
4
x
x
+=
+
=
+
в результате получим
.
4
1
3
1
43
lim
43
2
2
xx
x
x
L
x
+++
−
=
+∞→
Данный предел уже не содержит «неопределенности», и для его
вычисления применим теорему о пределе частного двух функций.
Учитывая, что
0
1
lim =
+∞→
a
x
x
при
0>a
, окончательно получаем
.0
4
1
3
1
43
lim
43
2
2
=
+++
−
=
+∞→
xx
x
x
L
x
Ответ: предел
0
2
=L
.
Следующие два предела № 5в и № 5г содержат неопределенность
вида
0
0
, и учебной программой предполагается, что они вычисляют-
ся с помощью замены бесконечно малых функций на эквивалентные.
Напомним, что функция
)(xα
называется бесконечно малой фун-
кцией в точке
0
xx
=
, если
0)(lim
0
=α
→
x
xx
.
Две бесконечно малые функций
)(xα
и
)(xβ
в точке е
0
xx
=
назы-
ваются эквивалентными, если
1
)(
)(
lim
0
=
β
α
→
x
x
xx
и пишут
)(~)(
0
xx
xx
βα
→
.
При вычислении предела отношения бесконечно малых функций
будем использовать следующую теорему.
Теорема. Пусть
)(xα
,
)(
1
x
α
,
)(xβ
,
)(
1
x
β
суть бесконечно малыеалые
функции в точке
0
xx =
, причем
)(~)(
1
0
xx
xx
αα
→
и
)(~)(
1
0
xx
xx
ββ
→
. Тог-ог-
да, если существует один из пределов
)(
)(
lim
0
x
x
xx
β
α
→
,
)(
)(
lim
1
1
0
x
x
xx
β
α
→
, то суще-
ствует и второй, и они равны
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
1
1
00
x
x
x
x
xxxx
β
α
=
β
α
→→

Страницы