Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Красоленко Г.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30 31
Напомним наиболее часто встречающиеся соотношения эквива-
лентности:
,
1)1(
~1~)1ln(~sin~
µ
−α+
−α+αα
µ
α
e
где
α
может быть как независимой переменной, стремящейся к нулю,
так и бесконечно малой функцией в точке
0
xx
=
.
Решение задачи № 5в
Обозначим для краткости и удобства предел через
.
sin)1ln(
lim
4
2
3
2
xx
ee
L
x
x
−
−
=
→
Вычислим пределы трех функций
0)(lim
4
2
2
=−
→
ee
x
x
,
0)1ln(lim
2
=−
→
x
x
и
2sinsinlim
2
=
→
x
x
,
из которых составлено выражение, стоящее под знаком предела.
Отсюда видим, что функции
4
2
ee
x
−
и
)1ln( −x
являются беско-о-
нечно малыми функциями в точке
2
0
=x
и что перед нами задача
о раскрытии неопределенности вида
0
0
.
Представим выражение, стоящее под знаком предела, в виде про-
изведения двух дробей
)1ln(sin
1
lim
4
2
3
2
−
−
=
→
x
ee
x
L
x
x
и проведем рассуждения, типичные при вычислении пределов такого
сорта.
Предел первой дроби существует и конечен. Предположим, что
предел второй дроби тоже существует и конечен. Тогда можно восполь-
зоваться теоремой о пределе произведения двух функций, утверждаю-
щей, что предел произведения двух функций, имеющих конечный пре-
дел, существует и равен произведению пределов сомножителей.
.
)1ln(
lim
2sin
1
)1ln(
lim
sin
1
lim
4
2
4
22
3
22
−
−
=
−
−
=
→→→
x
ee
x
ee
x
L
x
x
x
xx
Чтобы раскрыть неопределенность вида
0
0
в последнем преде-
ле, заменим бесконечно малые функции
4
2
ee
x
−
и
)1ln( −x
в точкее
2
0
=
x
на эквивалентные. Преобразуем эти функции таким образом, что-
бы можно было воспользоваться соотношениями эквивалентности:
α−
α
и
αα+ ~)1ln(
при
0→α
.
В результате получим, что
1)
)4(~)1(
24444
22
−−=−
−
xeeeee
xx
, где роль бесконечно малой
функции
α
играет
4
2
−=α
x
при
2→x
;
2)
( )
)2(~)2(1ln)1ln(
−−+=−
xxx
, где роль бесконечно малой
функции
α
играет
2−=α x
при
2→x
.
Эта замена позволяет нам раскрыть неопределенность и вычис-
лить предел
.4)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
)4(
lim
)1ln(
lim
4
2
4
2
4
24
2
4
2
2
exe
x
xx
e
x
xe
x
ee
xxx
x
x
=+=
−
+−
=
−
−
=
−
−
→→→→
Ответ:
4
4
3
e
L =
.
Решение задачи № 5г
Обозначим для краткости и удобства предел через
.
3sinsin
127
lim
5
3
4
−
−−
=
→
x
x
L
x
Пределы функций, стоящих в числителе и знаменателе, равны
нулю при
3→x
, и мы вновь имеем задачу о раскрытии неопределен-
ности вида
0
0
.
1. Преобразуем функцию
127
5
−− x
так, чтобы можно было вос-
пользоваться соотношениями эквивалентности:
µα−α+
µ
~1)1(
при
0→α
.

Страницы